透鏡方程式計算機

透鏡方程式計算機可求解三個變數（焦距 \(f\)、物距 \(u\) 或像距 \(v\)）中任意一項的薄透鏡方程式 \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\)，並返回放大率、成像高度、以屈光度表示的透鏡焦度以及完整的成像特性（實像或虛像、正立或倒立、放大或縮小）。右側的即時光路圖顯示了三條主光線，讓您一眼就能看出透鏡是如何成像的。

如何使用此透鏡方程式計算機

1. 選擇要求解的變數：像距 v、焦距 f 或 物距 u。對應的輸入欄位會自動隱藏 —— 您只需填入兩個已知數值。
2. 凸透鏡請選擇會聚透鏡（正焦距），凹透鏡請選擇發散透鏡（負焦距）。焦距請輸入正數 —— 計算機將自動處理其正負號。
3. 選擇長度單位（mm、cm 或 m）並輸入兩個已知距離。可選擇性輸入物體高度以同時獲取成像高度。
4. 按下求解透鏡方程式。結果面板將顯示未知的距離、放大率、成像特性標籤列、完整的光路圖，以及在 LaTeX 渲染數學公式中的逐步推導過程。
5. 利用頂部的快速範例按鈕來載入常見情境（相機鏡頭、投影機、放大鏡、顯微鏡目鏡、人眼、發散透鏡以及兩種「求解 f 或 u」的變體）。

是什麼讓這款透鏡方程式計算機與眾不同

薄透鏡方程式

薄透鏡方程式（也稱為高斯透鏡公式）將薄透鏡的焦距與給定物體位置的成像位置聯繫起來：

\[ \dfrac{1}{f} \;=\; \dfrac{1}{u} \;+\; \dfrac{1}{v} \]

這裡的 \(f\) 是透鏡的焦距，\(u\) 是物距（在此計算機使用的「實物實像為正」規範中恆為正值），\(v\) 是像距。正的 \(v\) 表示成像在透鏡相對於物體的另一側 —— 這是一個可以投影在屏幕上的實像。負的 \(v\) 表示成像在與物體相同的一側 —— 這是一個只有眼睛通過反向追蹤光線才能看到的虛像。

放大率

線（橫向）放大率 m 是成像高度與物體高度的比值。薄透鏡模型將其表示為：

\[ m \;=\; -\,\dfrac{v}{u} \;=\; \dfrac{h_i}{h_o} \]

負號用來表示朝向：正的 \(m\) 表示成像是正立的（與物體朝向相同）；負的 \(m\) 表示成像是倒立的（上下顛倒）。絕對值 \(|m|\) 告訴您大小比例 —— 大於 1 表示放大，小於 1 表示縮小。相機鏡頭通常產生 \(|m| \ll 1\) 且為負的 m；放大鏡則產生 \(|m| > 1\) 且為正的 m。

會聚透鏡的成像情況

發散透鏡的成像情況

無論物體放置在哪裡，發散（凹）透鏡總是產生虛像、正立、縮小的成像。成像位於物體和透鏡之間，且放大率恆為正值且小於 1。這就是為什麼防盜貓眼、門孔監視器和廣角相機附加鏡的前置鏡片都使用發散光學元件的原因 —— 它們將場景縮小為較小的正立視野。

透鏡焦度與屈光度

當 \(f\) 以公尺為單位時，透鏡焦度 \(P\) 是焦距的倒數：\(P = 1/f\)，單位為屈光度 (D)。短焦距對應於具有高焦度的強透鏡。眼鏡和隱形眼鏡的處方是以屈光度編寫的：+2 D 利用焦距為 0.5 m 的會聚透鏡來矯正遠視，而 −1 D 則利用發散透鏡來矯正輕度近視。

正負號規範參考

本計算機採用初等物理教科書中常見的實物實像為正規範：

• 物距 u：當物體位於入射光的一側時為正（通常情況）。
• 像距 v：在透鏡另一側的實像為正；與物體在同一側的虛像為負。
• 焦距 f：會聚（凸）透鏡為正；發散（凹）透鏡為負。
• 放大率 m：正立成像為正；倒立成像為負。
• 物體高度 \(h_o\)：取正值（在光軸上方）；成像高度 \(h_i\) 與 m 符號相同。

常見問題

為什麼焦距有時會自動反轉？ 許多教科書用大小來描述發散透鏡 ——「一個 5 cm 的發散透鏡」 —— 並期望學生在腦海中自行加上負號。為了讓計算機更具包容性，如果您選擇了發散類型並輸入了正的焦距，系統會自動為您翻轉正負號。如果您在會聚類型下輸入了負的焦距，計算機將停止並要求您修正正負號，因為這種組合確實是矛盾的。

如果計算機顯示成像在無窮遠處該怎麼辦？ 這代表物體剛好位於透鏡的焦點上。透鏡方程式給出 \(1/v = 1/f - 1/u = 0\)，因此 v 未定義（或為無窮大）。在物理上，出射光線是平行的，永不匯聚以形成有限的成像。請將物體稍微移近或移遠透鏡。

這適用於面鏡嗎？ 相同形式的方程式 \(1/f = 1/u + 1/v\) 適用於具有適當正負號規範的球面鏡，但其規範與透鏡情況略有不同。本計算機是圍繞透鏡規範建構的。對於面鏡，您需要使用專門的面鏡方程式計算機。

線放大率和角放大率有什麼區別？ 計算機返回的是線（橫向）放大率 \(m = -v/u\)，它比較了有限大小物體的成像高度和物體高度。角放大率比較的是成像在眼睛處所張的角度與物體所張的角度 —— 這是望遠鏡和顯微鏡在比較視覺大小時的相關量，但它取決於觀看距離，與 \(m\) 並不相同。