向量點積計算機

計算二維、三維或更高維度向量的點積（純量積）。獲取向量間的夾角、長度、純量投影與向量投影、幾何意義解析，以及包含互動式向量圖表的逐步計算公式。

向量點積計算機

這款向量點積計算機使用代數公式 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\) 來計算 2D、3D 或更高維度中兩個向量的純量積。輸入兩個向量的分量，即可立即獲得點積、向量間的夾角、長度、純量投影與向量投影、幾何解釋，以及帶有互動式向量圖的逐步解題方案。

實際應用場景

⚡

物理：功

W = F · d 用於計算力所做的功

💡

光照計算

蘭伯特著色法使用 N · L 計算亮度

🤖

機器學習

餘弦相似度用於衡量文檔相關性

🎮

遊戲開發

碰撞檢測和視野範圍檢查

📡

信號處理

通過內積計算信號之間的相關性

🏗

工程學

將力分量分解到特定方向上

關鍵公式

性質	公式	描述
點積	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum a_i b_i\)	對應分量乘積的總和
幾何形式	\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)	長度乘積乘以夾角的餘弦值
夾角	\(\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}\)	兩個向量之間的角度（0° 到 180°）
長度 (模)	\(\|\vec{a}\| = \sqrt{\sum a_i^2}\)	向量的長度（歐幾里得範數）
純量投影	\(\text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|}\)	a 在 b 方向上投影的有號長度
向量投影	\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b}\)	a 沿著 b 方向的向量分量

點積與叉積的區別

點積 (a · b)

產生一個純量值。適用於任何維度（2D、3D、nD）。衡量兩個向量在多大程度上指向同一方向。當向量垂直時為零。用於投影、角度和功的計算。

叉積 (a × b)

產生一個與兩個輸入都垂直的向量。僅在 3D（和 7D）中定義。其長度等於由向量形成的平行四邊形的面積。當向量平行時為零。用於力矩、法線和面積計算。

理解幾何解釋

點積具有深刻的幾何意義：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。這告訴我們：

正點積 (θ < 90°)：向量指向大體相同的方向。
零點積 (θ = 90°)：向量互相垂直（正交）——這是線性代數中正交性測試的基礎。
負點積 (θ > 90°)：向量指向大體相反的方向。

\(\vec{a}\) 在 \(\vec{b}\) 上的純量投影給出了當光線垂直於 \(\vec{b}\) 照射時，\(\vec{a}\) 的「影子」的有號長度。向量投影則將此影子表示為沿著 \(\vec{b}\) 的實際向量。

如何使用向量點積計算機

選擇維度： 選擇 2D、3D、4D 或自定義以進行更高維度的計算。點擊快速範例可自動填寫樣本值。
輸入向量 a： 輸入以逗號分隔的分量（例如，3D 向量輸入 3, 4, 5）。
輸入向量 b： 在相同維度中輸入第二個向量的分量。
觀察即時預覽： 向量圖會隨著您的輸入實時更新，顯示向量間的空間關係和夾角。
點擊計算： 按下按鈕即可獲得完整結果，包括點積、夾角、長度、投影、幾何解釋和逐步計算公式。

點積的性質

交換律： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
分配律： \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
純量乘法： \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
自點積： \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)（長度的平方）
柯西-施瓦茨不等式： \(|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

常見問題 (FAQ)

什麼是兩個向量的點積？

點積（也稱為純量積或內積）是兩個向量 a 和 b 對應分量乘積的總和：a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ。它產生的是一個單一的純量值，而不是向量。從幾何上看，它等於 |a||b|cos θ，其中 θ 是向量之間的夾角。

如何使用點積求兩個向量之間的夾角？

使用公式 θ = arccos(a · b / (|a| × |b|))。首先計算點積，然後除以兩個向量長度的乘積得到 cos θ，最後取反餘弦函數。結果始終在 0° 到 180° 之間。

點積為零代表什麼意思？

當兩個非零向量的點積為零時，向量是垂直的（正交的），這意味著它們形成 90° 角。這是點積最重要的性質之一，廣泛應用於線性代數、物理學和電腦圖形學中以測試正交性。

點積和叉積有什麼區別？

點積產生一個純量，衡量兩個向量的對齊程度。它適用於任何維度。叉積產生一個垂直於兩個輸入的向量，且僅在 3D 中定義。點積用於計算角度和投影；叉積用於計算力矩、表面法線和面積。

什麼是向量投影？

向量 a 在向量 b 上的向量投影是向量 a 位於向量 b 方向上的分量。它等於 (a · b / |b|²) × b。純量投影（也稱為分量）是 a · b / |b|，給出了投影的有號長度。如果純量投影為正，則 a 在 b 的方向上有分量；如果為負，則指向 b 的反方向。

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由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026-04-09

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