伯努利方程式計算機

伯努利方程式計算機求解流線上壓力、流速和高程之間著名的流體動力學關係。輸入流線上兩個點的已知數據，選擇您想要尋找的一個物理量，此工具即可將其求出 — 並附帶動畫管道圖、直觀證明能量守恆的能量坡度線圖，以及完整的逐步解題過程。對於學生、工程師以及任何從事管道、噴嘴、文氏計或空氣動力學工作的人來說，這都是首選的計算機。

什麼是伯努利方程式？

丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出的原理是移動流體能量守恆的表述。對於沿著單一流線的穩定、不可壓縮、無摩擦流動，每單位體積的壓力能、動能和位能的總和在各點之間保持不變。

此處 \(P\) 是靜壓，\(\rho\)（rho）是流體密度，\(v\) 是流速，\(g\) 是重力加速度（9.81 m/s²），\(h\) 是高程。這三項依序代表每單位體積的壓力能、動能（速度能）和位能（高程能）。

水頭形式與能量坡度線

將每一項除以 \(\rho g\)，可以將方程式改寫為水頭形式 — 每一項都變成以流體公尺為單位的高度。這正是本計算機所視覺化的形式：

這三個水頭分別是壓力水頭 \(P/\rho g\)、速度水頭 \(v^2/2g\) 和高程水頭 \(h\)。它們的總和就是總水頭 \(H\)，在理想流動中沿著流線保持不變 — 這個恆定的水平被稱為能量坡度線（EGL）。結果中的兩個堆疊長條圖總高度始終相同，這最清晰地展示了伯努利原理：能量只是在壓力、速度和高度之間轉移，而總量保持不變。

本計算機如何求解任何項

伯努利方程式將兩個點的六個物理量（\(P_1, v_1, h_1, P_2, v_2, h_2\)) 聯繫起來。如果您知道其中的五個，就可以重新排列方程式以找到第六個：

• 求解壓力： \(P = E - \tfrac{1}{2}\rho v^{2} - \rho g h\)，其中 \(E\) 是從完全已知點獲得的總能量。
• 求解速度： \(v = \sqrt{\dfrac{2\,(E - P - \rho g h)}{\rho}}\)。如果已知值使得根號下出現負數，則表示沒有實際流動可以滿足這些條件，工具將會報告此情況。
• 求解高程： \(h = \dfrac{E - P - \tfrac{1}{2}\rho v^{2}}{\rho g}\)。

計算範例：通過變窄管道的流動

水（\(\rho = 998\) kg/m³）在水平管道中流動。在點 1 處，壓力為 200 kPa，速度為 2 m/s。在下游管道變窄，壓力下降到 180 kPa。新的速度是多少？

1. 點 1 的總能量：\(E = 200{,}000 + \tfrac{1}{2}(998)(2)^2 = 201{,}996\) Pa。
2. 求解 \(v_2\)：\(v_2 = \sqrt{2(201{,}996 - 180{,}000)/998} \approx 6.64\) m/s。

當管道變窄時，流體速度從 2 加速到約 6.6 m/s，且其壓力下降 — 這正是伯努利所預測的，也是文氏計所測量的現象。

伯努利原理的實際應用

假設與局限性

伯努利方程式僅在理想條件下才精確。請記住這些限制：

• 穩定流動 — 各點的條件不隨時間改變。
• 不可壓縮流體 — 密度恆定，這對液體以及大約低於 0.3 馬赫的空氣是很好的假設。
• 可忽略不計的摩擦 — 沒有黏性或紊流損失。實際管道會因摩擦而損失水頭，因此下游的總水頭會略低於理想值。
• 沿著單一流線 — 這兩個點必須位於同一條流線上。
• 兩點之間沒有泵或渦輪機，否則會添加或移除能量。

如何使用本計算機

1. 選擇要求解的項目：從「求解目標」選單中選擇未知項 — 點 1 或點 2 的壓力、速度或高程。該欄位將變為灰色以作為答案。
2. 選擇流體和單位：選擇水、空氣、海水、油或自訂密度，以及壓力單位（Pa、kPa、bar、psi 或 atm）。
3. 在兩個點輸入其餘五個項的已知值。
4. 點擊「計算」以獲取未知值、動畫流線圖、能量坡度線圖、水頭分解表和逐步解題過程。

常見問題

什麼是伯努利方程式？

伯努利方程式指出，對於沿著流線的穩定、不可壓縮、無摩擦流動，壓力、每單位體積動能和每單位體積位能的總和為常數：P + ½ρv² + ρgh = 常數。它表達了流動流體的能量守恆。

這個伯努利計算機可以求解什麼？

它可以求解六個項中的任何一個：同一流線上兩個點中任一點的壓力、速度或高程。從「求解目標」選單中選擇未知項，輸入其他五個值，計算機就會返回缺失的值。

什麼是伯努利方程式的水頭形式？

將每一項除以 ρg 可將方程式轉換為以流體公尺為單位的水頭：壓力水頭 P/(ρg)、速度水頭 v²/(2g) 和高程水頭 h。它們的總和就是總水頭，在理想流動中沿著流線保持常數。這就是能量坡度線圖所顯示的內容。

伯努利方程式有哪些假設？

它假設穩定流動、恆定密度的不可壓縮流體、可忽略不計的摩擦或黏性損失、沿單一流線的流動，並且沒有透過泵或渦輪機添加或移除能量。具有摩擦的實際系統會損失水頭，因此下游的總水頭會略低於理想值。

為什麼流體加速時壓力會下降？

因為總能量是守恆的。當流體加速時 — 例如通過變窄的管道 — 其速度水頭增加，因此壓力水頭必須減少以保持總水頭恆定。速度和壓力之間的這種反比關係是伯努利原理的核心，並解釋了機翼上的升力和通過文氏管的流動。

我應該使用什麼單位？

速度以公尺每秒輸入，高程以公尺輸入。壓力可以巴斯卡、千帕、bar、psi 或大氣壓輸入，結果也顯示在相同的單位中。密度以公斤每立方公尺為單位，並帶有常用流體的預設值。

額外資源

• 伯努利原理 - 維基百科
• 水頭與能量坡度線 - 維基百科