通用三角形求解器

用于求解任意三角形的强大工具。输入三个已知量（例如 SSS、SAS、ASA、AAS），计算器将利用正弦定理、余弦定理和海伦公式自动求出所有未知边长、角度、面积和周长。

通用三角形求解器

歡迎使用 通用三角形求解器，這是一款用來求解任意三角形的線上工具。無論已知的是三條邊（SSS）、兩邊及其夾角（SAS）、兩個角與一條邊（ASA/AAS），或是兩邊與一個非夾角（SSA），本工具都能自動計算其餘邊長與角度，以及三角形的面積與周長，非常適合學生、老師、工程師及所有需要處理三角形問題的使用者。

主要功能特色

支援多種已知條件： 完整處理 SSS、SAS、ASA、AAS 與 SSA 等常見情形。
輸出完整三角形元素： 一次給出三條邊、三個角、面積與周長。
採用經典三角學方法： 計算過程使用正弦定理、餘弦定理與海倫公式。
分步解題說明： 以文字步驟呈現解題過程，方便學習與教學。
自動有效性檢查： 檢驗三角形不等式與內角和是否為 180°。
圖形視覺化： 在畫布上繪製對應的三角形，並標示邊長與角度。

三角形求解方法概覽

本求解器主要依據以下幾個重要公式：

正弦定理

正弦定理將三角形的邊長與對應角的正弦值關聯起來：

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

當已知以下條件時特別適用：

兩個角與一條邊（AAS 或 ASA）
兩條邊與一個非夾角（SSA，存在多解或無解的情況）

餘弦定理

餘弦定理可以視為畢氏定理的推廣形式：

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$$ $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$$

當已知下列條件時會大量使用餘弦定理：

三條邊皆已知（SSS）
兩條邊與其夾角已知（SAS）

海倫公式（Heron's Formula）

當三角形三邊長 a、b、c 皆已知時，可利用海倫公式計算面積：

$$\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

其中 $s = \frac{a + b + c}{2}$ 為三角形的半周長。

如何使用通用三角形求解器

輸入已知值： 在表單中輸入任意 3 個已知量（邊或角），未知欄位保持空白。
邊的命名： 三條邊分別記為 a、b、c。
角的命名： 三個角分別記為 A、B、C，其中 A 為對邊 a 的角，B 為對邊 b 的角，C 為對邊 c 的角。
角度單位： 所有角度均以「度」為單位輸入。
按下「計算」： 工具會自動判斷所屬情形（SSS、SAS、ASA/AAS、SSA），並求出所有未知量。
查看結果： 下方會顯示三角形全部元素、面積、周長以及分步解題說明。

常見三角形已知條件類型

SSS（邊邊邊）： 已知三邊長，利用餘弦定理求三個角。
SAS（邊角邊）： 已知兩邊及夾角，先用餘弦定理求第三邊，再用正弦定理求其餘角度。
ASA / AAS（角邊角或角角邊）： 已知兩個角與一條邊，先利用 $A+B+C=180°$ 求第三角，再用正弦定理求其餘邊長。
SSA（邊邊角）： 模糊情形，可能沒有解、只有一組解或兩組解，本工具會自動判定並輸出有效解。

重要的三角形性質

內角和： 任意三角形的三個內角總和皆為 180°：$A + B + C = 180°$。
三角形不等式： 任意兩邊之和必須大於第三邊：
- $a + b > c$
- $b + c > a$
- $a + c > b$
角度與邊長對應： 最大的角對應最長的邊，最小的角對應最短的邊。

應用場景

三角形求解在許多領域都扮演重要角色，例如：

幾何與三角函數教學： 用於說明三角形性質與相關公式。
測量與測繪： 土地丈量、邊界與距離計算。
導航與定位： 方位、距離與航線估算。
工程與建築： 結構分析、桁架與屋頂坡度設計。
物理與力學： 向量分解與受力分析。
電腦圖學： 3D 建模與渲染中的幾何計算。

SSA 模糊情形

當已知兩條邊與其中一條邊所對的角（SSA）時，可能出現：

無解： 給定條件無法形成三角形。
唯一解： 只有一個符合條件的三角形。
兩組解： 可能存在兩個不同的三角形（較少見）。

本工具會自動偵測 SSA 情形並給出正確的解（若存在）。

為什麼選擇本求解器？

手動求解三角形通常需要多個公式與繁瑣計算，稍有不慎就容易出錯。本求解器的優點包括：

高正確性： 基於嚴謹的三角學公式進行計算。
高效率： 對任意合法輸入都能即時計算出結果。
教學友善： 分步顯示計算過程，便於理解與複習。
支援多樣情境： 同時處理 SSS、SAS、ASA、AAS、SSA 等多種已知條件組合。
自動驗證： 檢查結果是否符合三角形基本性質與數學一致性。

延伸閱讀資源

若想進一步了解三角形幾何與相關解法，可參考以下英文資源：

引用此内容、页面或工具为：

"通用三角形求解器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/通用三角形求解器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊提供。更新日期：2025 年 11 月 16 日

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其他相关工具:

邊長：
邊 a：
邊 b：
邊 c：
角度（單位：度）：
角 A：
角 B：
角 C：
輸入任意 3 個已知值（其餘欄位留空）

通用三角形求解器