旋度计算器

旋度计算器

旋度计算器可以计算任何 2D 或 3D 向量场的旋度 ∇×F，并提供完整的叉积行列式逐步展开过程。输入您的向量场分量 P、Q（以及 3D 的 R），还可以在特定点进行数值计算。您将获得符号旋度、旋转分类，对于 2D 场，还提供带有涡度热图和粒子流动画的交互式可视化，直观展示场的旋转行为。

什么是旋度？

向量场 \(\mathbf{F}\) 的旋度衡量了场在每个点处的无穷小旋转程度。对于 3D 场 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\)，旋度通过叉积计算：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

展开行列式可得到旋度向量：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

对于 2D 场 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\)，旋度简化为标量 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\)，它代表了 xy 平面内的旋转。

旋度的物理意义

不同坐标系下的旋度公式

涉及旋度的重要恒等式

旋度的应用

如何使用旋度计算器

1. 选择维度： 使用切换按钮选择 2D 场 F = ⟨P, Q⟩（标量旋度）或 3D 场 F = ⟨P, Q, R⟩（向量旋度）。
2. 输入分量函数： 使用标准记法输入每个分量函数（P、Q 以及可选的 R）。使用 ^ 表示指数，* 表示乘法，支持 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函数。支持隐式乘法（例如 2x = 2*x）。
3. 输入计算点（可选）： 提供以逗号分隔的坐标，以便进行数值旋度计算并分类旋转方向。
4. 点击“计算旋度”： 查看符号旋度结果、叉积行列式逐步展开过程、数值计算结果和旋转分类。
5. 探索可视化： 对于 2D 场，查看带有涡度热图（橙色 = 逆时针，紫色 = 顺时针）的向量场箭头和粒子流动画。

示例解析

求向量场 \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle\) 在点 \((1, 2, 3)\) 处的旋度：

第 1 步： 写出行列式： \(\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}\)

第 2 步： 展开：\(\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle\)

第 3 步： 旋度恒为零 — 该场是无旋的（保守场）。实际上，\(\mathbf{F} = \nabla(xyz)\)，证实了势函数的存在。

旋度 vs. 散度

常见问题解答