散度计算器

散度计算器

散度计算器可以计算任何 2D 或 3D 向量场的散度 ∇·F，并提供完整的偏导数分步计算过程。输入您的向量场分量 P、Q（以及 3D 的 R），可以选择在特定点进行评估，并获得符号散度、源/汇分类。对于 2D 场，还提供带有散度热图和粒子流动画的交互式可视化。

什么是散度？

向量场 \(\mathbf{F}\) 的散度是一个标量值算子，用于测量场从某一点“散开”的速率。对于 3D 向量场 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\)：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

对于 2D 场 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\)，散度为 \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)。散度是向量微积分、流体动力学、电磁学和微分方程中的基本概念。

散度的物理意义

散度公式与坐标系

涉及散度的重要恒等式

散度的应用

如何使用散度计算器

1. 选择维度： 使用切换按钮选择 F = ⟨P, Q⟩ 的 2D 场或 F = ⟨P, Q, R⟩ 的 3D 场。
2. 输入分量函数： 使用标准记法输入每个分量函数（P、Q 以及可选的 R）。使用 ^ 表示指数，* 表示乘法，并使用 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函数。支持隐式乘法（例如 2x = 2*x）。
3. 输入计算点（可选）： 提供以逗号分隔的坐标，以便对散度进行数值评估，并将该点分类为源、汇或不可压缩。
4. 点击“计算散度”： 查看符号散度公式、分步偏导数计算、数值评估和源/汇分类。
5. 探索可视化： 对于 2D 场，查看带有颜色编码散度热图（红色 = 源，蓝色 = 汇）的向量场箭头和展示场行为的粒子流动画。

计算示例

求向量场 \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle\) 在点 \((1, 1)\) 处的散度：

第 1 步： 确定分量：\(P = x\), \(Q = y\)。

第 2 步： 计算偏导数：\(\frac{\partial P}{\partial x} = 1\), \(\frac{\partial Q}{\partial y} = 1\)。

第 3 步： 将它们求和：\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2\)。

解读： 由于 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0\)，因此每个点都是一个源。该场均匀地向外膨胀 —— 想象流体在平面上的每个地方都被泵出。

常见问题解答