เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ออนไลน์ฟรีพร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน คำนวณผลคูณจุด (dot product), ผลคูณไขว้ (cross product), ขนาด, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, มุมระหว่างเวกเตอร์, การฉายเวกเตอร์ และอื่นๆ พร้อมการแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ

ตัวอย่างด่วน

1 ใส่เวกเตอร์

เวกเตอร์ A

คั่นองค์ประกอบด้วยเครื่องหมายจุลภาค

เวกเตอร์ B

จำเป็นสำหรับการดำเนินการแบบสองเวกเตอร์

2 เลือกการดำเนินการ

การดำเนินการ

ความแม่นยำ

Embed เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ ของเรา เครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการดำเนินการทางเวกเตอร์พร้อมวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดทีละขั้นตอน ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังเรียนพีชคณิตเชิงเส้น วิศวกรที่ทำงานเกี่ยวกับแรงและความเร็ว หรือใครก็ตามที่ต้องการคำนวณคณิตศาสตร์เวกเตอร์ เครื่องคิดเลขนี้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำพร้อมคำอธิบายที่ชัดเจน

เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์ คือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีทั้งขนาด (ความยาว) และทิศทาง โดยทั่วไปเวกเตอร์จะแสดงเป็นรายการตัวเลขที่เรียงลำดับกันเรียกว่า องค์ประกอบ (components) ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ 3 มิติอาจเขียนเป็น [3, 4, 5] ซึ่งแสดงถึงการเคลื่อนที่ 3 หน่วยตามแกน x, 4 หน่วยตามแกน y และ 5 หน่วยตามแกน z

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในทางฟิสิกส์ (แสดงถึงแรง, ความเร็ว, ความเร่ง), คอมพิวเตอร์กราฟิก (การแปลง 3 มิติ, แสงสว่าง), การเรียนรู้ของเครื่อง (feature vectors, embeddings) และสาขาอื่นๆ อีกมากมาย

การดำเนินการทางเวกเตอร์ที่รองรับ

ขนาด (ความยาว)

ขนาด ของเวกเตอร์ หรือที่เรียกว่าความยาวหรือนอร์ม (norm) เป็นการวัดว่าเวกเตอร์นั้นยาวเท่าใด สำหรับเวกเตอร์ A = [a, b, c]:

สูตรการหาขนาด

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีขนาดเท่ากับ 1 และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม คำนวณได้โดยการหารแต่ละองค์ประกอบด้วยขนาดของมัน:

สูตรเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Dot Product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

Dot product ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์จะได้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ซึ่งเป็นการวัดว่าเวกเตอร์หนึ่งไปในทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่งมากน้อยเพียงใด:

สูตร Dot Product

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

คุณสมบัติสำคัญ: หาก Dot product เป็นศูนย์ เวกเตอร์ทั้งสองจะ ตั้งฉากกัน ค่าบวกหมายถึงชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกัน และค่าลบหมายถึงทิศทางตรงกันข้าม

Cross Product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

Cross product ของเวกเตอร์ 3 มิติสองเวกเตอร์ จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง ขนาดของมันจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านั้น:

สูตร Cross Product

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

การบวกและการลบเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์ คือการรวมเวกเตอร์เข้าด้วยกันโดยบวกองค์ประกอบที่ตรงกัน การลบ คือการหาผลต่าง:

การบวก/การลบ

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

มุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์หาได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง Dot product และขนาดของเวกเตอร์:

สูตรการหามุม

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector Projection)

ภาพฉาย ของเวกเตอร์ A บนเวกเตอร์ B จะให้องค์ประกอบของ A ในทิศทางของ B:

สูตรภาพฉาย

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

การคูณสเกลาร์

การคูณสเกลาร์ คือการคูณแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เพื่อปรับขนาดของเวกเตอร์:

การคูณสเกลาร์

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

ตารางสรุปการดำเนินการ

การดำเนินการ	ข้อมูลที่ต้องใช้	ประเภทผลลัพธ์	การใช้งานทั่วไป
ขนาด	หนึ่งเวกเตอร์	สเกลาร์	หาระยะทาง, การปรับเวกเตอร์ให้เป็นมาตรฐาน
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย	หนึ่งเวกเตอร์	เวกเตอร์	การแสดงทิศทาง, การทำให้เป็นมาตรฐาน
Dot Product	สองเวกเตอร์	สเกลาร์	การคำนวณมุม, ภาพฉาย, ความคล้ายคลึง
Cross Product	สองเวกเตอร์ 3 มิติ	เวกเตอร์	หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉาก, คำนวณพื้นที่
การบวก	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	การรวมแรง, การกระจัด
การลบ	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	หาตำแหน่งสัมพัทธ์, ผลต่าง
มุม	สองเวกเตอร์	สเกลาร์ (องศา)	การจัดวางทิศทาง, การวัดความเหมือน
ภาพฉาย	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	การคำนวณเงา, การแตกองค์ประกอบ
คูณสเกลาร์	หนึ่งเวกเตอร์ + สเกลาร์	เวกเตอร์	การปรับสเกล, ปรับขนาดเวกเตอร์

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

ใส่เวกเตอร์ A: ป้อนองค์ประกอบของเวกเตอร์แรก โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (เช่น 3, 4, 0)
ใส่เวกเตอร์ B (ถ้าจำเป็น): สำหรับการดำเนินการแบบสองเวกเตอร์ ให้ป้อนเวกเตอร์ที่สอง
เลือกการดำเนินการ: เลือกการคำนวณที่ต้องการจากเมนูแบบดึงลง
ตั้งค่าความแม่นยำ: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการสำหรับผลลัพธ์
คำนวณ: คลิกปุ่มเพื่อดูผลลัพธ์พร้อมคำอธิบายทีละขั้นตอน

คำถามที่พบบ่อย

Dot product คืออะไร?

Dot product (หรือเรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือ Inner product) ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ A และ B คือค่าสเกลาร์ที่คำนวณโดยการคูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วนำผลลัพธ์มาบวกกัน: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ซึ่งมีค่าเท่ากับ |A||B|cos(θ) โดยที่ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ ถ้า Dot product เป็นศูนย์ หมายความว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน

Cross product คืออะไร?

Cross product (หรือเรียกว่า ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ของเวกเตอร์ 3 มิติ สองเวกเตอร์ A และ B จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง คำนวณได้จาก A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁) ขนาดของมัน |A×B| จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ A และ B

วิธีคำนวณขนาดของเวกเตอร์ทำอย่างไร?

ขนาดของเวกเตอร์ (ความยาว) คำนวณโดยใช้ Euclidean norm: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) สำหรับเวกเตอร์ 3 มิติ สูตรนี้ใช้ได้กับทุกมิติโดยการรวมกำลังสองของทุกองค์ประกอบแล้วถอดรากที่สอง

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม คำนวณได้โดยการหารแต่ละองค์ประกอบด้วยขนาดของเวกเตอร์: Â = A/|A| เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีประโยชน์ในการแสดงทิศทางโดยไม่คำนึงถึงขนาด

หามุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์ได้อย่างไร?

มุม θ ระหว่างเวกเตอร์ A และ B หาได้จากสูตร Dot product: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|) จากนั้นใช้ inverse cosine (arccos) ของค่านี้เพื่อหาค่ามุมในหน่วยเรเดียน แล้วแปลงเป็นองศาโดยการคูณด้วย 180/π

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector projection) คืออะไร?

ภาพฉายของเวกเตอร์ A บน B คือองค์ประกอบของ A ในทิศทางของ B สูตรคือ proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B ส่วนภาพฉายเชิงสเกลาร์ (คอมโพเนนต์) คือ (A·B)/|B| มีประโยชน์ในทางฟิสิกส์สำหรับการแตกแรงและความเร็ว

การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์เวกเตอร์

ฟิสิกส์: การแสดงแรง, ความเร็ว, ความเร่ง, สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก
คอมพิวเตอร์กราฟิก: การแปลง 3 มิติ, การคำนวณแสง, Ray tracing
วิศวกรรม: การวิเคราะห์โครงสร้าง, พลศาสตร์ของไหล, หุ่นยนต์
การเรียนรู้ของเครื่อง: Feature vectors, Word embeddings, การวัดความเหมือน
การพัฒนาเกม: การเคลื่อนที่ของตัวละคร, การตรวจจับการชน, การจำลองฟิสิกส์
การนำทาง: การคำนวณ GPS, เส้นทางการบิน, การกำหนดเส้นทางเดินเรือ

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคิดเลขเวกเตอร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคิดเลขเวกเตอร์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 27 ม.ค. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

เวกเตอร์คืออะไร?

การดำเนินการทางเวกเตอร์ที่รองรับ

ขนาด (ความยาว)

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

Dot Product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

Cross Product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

การบวกและการลบเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector Projection)

การคูณสเกลาร์

ตารางสรุปการดำเนินการ

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

คำถามที่พบบ่อย

Dot product คืออะไร?

Cross product คืออะไร?

วิธีคำนวณขนาดของเวกเตอร์ทำอย่างไร?

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?

หามุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์ได้อย่างไร?

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector projection) คืออะไร?

การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์เวกเตอร์

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

พีชคณิตเชิงเส้น:

เครื่องมือเด่น: