เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง
คำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดของฟังก์ชันใดก็ได้โดยใช้นิยามลิมิตด้วยเครื่องมือคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะของ MiniWebtool ดูวิธีทำทีละขั้นพร้อมสูตร MathJax กราฟเส้นสัมผัสแบบโต้ตอบ และตารางการลู่เข้าเมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์
เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกันไม่แน่ใจว่าใช้อย่างไร? ถาม AI
ดูคำถาม
ใส่ฟังก์ชันและจุดด้านล่างเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีที่จุดนั้น พร้อมขั้นตอนลิมิต เส้นสัมผัส และตารางค่า h
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราแสดงโฆษณาไม่ได้
MiniWebtool ให้ใช้ฟรีได้เพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วยการอัปเกรดเพื่อใช้งานแบบไม่มีโฆษณาและใช้ได้มากขึ้นต่อวัน หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วโหลดใหม่
- หรืออัปเกรดเพื่อไม่มีโฆษณาและมีโควตาต่อวันที่สูงขึ้น
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง
เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งนี้จะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ใดๆ ณ จุด x₀ ที่กำหนดโดยใช้นิยามของลิมิต ป้อนฟังก์ชันอย่างเช่น \(x^2\), \(\sin(x)\), หรือ \(e^x\) ระบุค่า x และรับค่าอนุพันธ์ สมการเส้นสัมผัส ตารางการลู่เข้าที่แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนต่างเข้าใกล้ลิมิตอย่างไรเมื่อ h → 0 พร้อมแผนภูมิแบบโต้ตอบที่มีภาพเคลื่อนไหวการเปลี่ยนจากเส้นตัดคอร์ดเป็นเส้นสัมผัส
สรุปภาพรวม
เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x0 ที่เลือก โดยใช้นิยามลิมิต แสดงสมการเส้นสัมผัส ตารางการลู่เข้าเมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์ และกราฟแบบโต้ตอบ
| ฟีเจอร์ | สิ่งที่ได้รับ | เหมาะสำหรับ |
|---|---|---|
| ป้อนฟังก์ชัน | พิมพ์ f(x) โดยใช้ ^ สำหรับกำลัง และฟังก์ชันเช่น sin, cos, tan, ln, log, exp, sqrt และ abs รองรับการคูณโดยนัยเช่น 2x | ป้อนฟังก์ชันในตำราตามที่เขียนไว้ |
| จุดที่ประเมิน | ป้อนค่า x ที่จุด x0 เป็นตัวเลข หรือใช้ค่าคงที่ pi และ e | หาความชันที่จุดใดจุดหนึ่ง |
| ผลต่างกลาง | คำตอบสุดท้ายใช้วิธีผลต่างกลาง ซึ่งลู่เข้าเร็วกว่า (อันดับสอง) เมื่อเทียบกับผลต่างไปข้างหน้าหรือข้างหลัง | เข้าใจว่าอนุพันธ์ถูกประมาณอย่างไร |
| ตารางการลู่เข้า | แสดงค่าผลต่างไปข้างหน้า ข้างหลัง และกลาง ที่ขนาดขั้น h แต่ละขั้น แสดงผลหารที่เข้าใกล้ลิมิต | เห็นว่าทำไมนิยามลิมิตจึงใช้ได้ |
| เส้นสัมผัส | ให้สมการเส้นสัมผัส และพล็อตพร้อมฟังก์ชันและจุดบนกราฟแบบโต้ตอบ | เชื่อมอนุพันธ์กับความชันของเส้นโค้ง |
| ทำให้ h เข้าสู่ 0 แบบเคลื่อนไหว | เล่นแอนิเมชันของเส้นตัด (secant) ที่กลายเป็นเส้นสัมผัสเมื่อ h เล็กลง | การสาธิตอนุพันธ์ในห้องเรียน |
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งคืออะไร?
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ณ จุด \(x = a\) คือ อนุพันธ์ \(f'(a)\) ซึ่งแสดงถึงความชันของ เส้นสัมผัส กราฟ ณ จุดนั้น โดยมีนิยามอย่างเป็นทางการคือ:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
ต่างจากอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ซึ่งใช้เส้นตัดคอร์ดในช่วงกว้าง) อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งจะจับค่าอัตราที่ แม่นยำ ณ จุดเดียว นี่คือแนวคิดพื้นฐานของวิชาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
แนวคิดหลัก
นิยามลิมิต — ในเชิงภาพ
ลองจินตนาการถึงจุดสองจุดบนกราฟ: \((a, f(a))\) และ \((a+h, f(a+h))\) เส้นตรงที่ลากผ่านจุดทั้งสองคือ เส้นตัดคอร์ด ที่มีความชันเป็น:
$$\text{ความชันเส้นตัดคอร์ด} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
เมื่อคุณทำให้ \(h\) เล็กลงเรื่อยๆ จุดที่สองจะเลื่อนเข้าใกล้จุดแรกมากขึ้น เส้นตัดคอร์ดจะหมุนและลู่เข้าหา เส้นสัมผัส ความชันที่มันลู่เข้าหานั้นก็คืออนุพันธ์ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง ฟีเจอร์ "เล่นภาพเคลื่อนไหว h → 0" ของเครื่องคำนวณนี้ช่วยให้คุณเห็นเหตุการณ์นี้เกิดขึ้นจริงได้
วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับอนุพันธ์
| วิธี | สูตร | ความแม่นยำ |
|---|---|---|
| ผลต่างไปข้างหน้า (Forward Difference) | \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) | O(h) — อันดับที่หนึ่ง |
| ผลต่างย้อนหลัง (Backward Difference) | \(\frac{f(a) - f(a-h)}{h}\) | O(h) — อันดับที่หนึ่ง |
| ผลต่างจากจุดศูนย์กลาง (Central Difference) | \(\frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}\) | O(h²) — อันดับที่สอง |
เครื่องคำนวณนี้ใช้วิธี ผลต่างจากจุดศูนย์กลาง สำหรับคำตอบสุดท้ายเนื่องจากมันลู่เข้าหาค่าจริงได้เร็วกว่ามาก (แบบกำลังสอง) ตารางการลู่เข้าจะแสดงทั้งสามวิธีเพื่อให้คุณสามารถเปรียบเทียบความแม่นยำในแต่ละขนาดของ h ได้
การประยุกต์ใช้ในโลกจริง
| สาขา | ฟังก์ชัน | ความหมายของอนุพันธ์ |
|---|---|---|
| ฟิสิกส์ | ตำแหน่ง s(t) | ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง ณ เวลา t |
| ฟิสิกส์ | ความเร็ว v(t) | ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง ณ เวลา t |
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-14
พูดคุยกับ AI ที่คุณชื่นชอบ
เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกัน
ดูคำถาม
แคลคูลัส:
- เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ใหม่
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี ใหม่
- เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน
- เครื่องคำนวณเคิร์ล ใหม่
- เครื่องคำนวณความโค้ง
- เครื่องคิดเลขอนุพันธ์
- เครื่องพล็อตสนามทิศทางและสนามความชัน ใหม่
- เครื่องคิดตอนุพันธ์เชิงทิศทาง
- เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์ ใหม่
- เครื่องคิดเลขปริพันธ์คู่
- เครื่องคำนวณวิธีออยเลอร์ ใหม่
- เครื่องคำนวณการแปลงฟูเรียร์อย่างรวดเร็ว (FFT) ใหม่
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง ใหม่
- เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์
- เครื่องคำนวณเกรเดียนต์ หลายตัวแปร ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์โดยปริยาย
- เครื่องคำนวณอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ใหม่
- เครื่องคำนวณผลรวมอนุกรมอนันต์ ใหม่
- เครื่องคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง ใหม่
- เครื่องคิดเลขอินทิเกรต
- เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน
- เครื่องคำนวณกฎของโลปีตาล ใหม่
- เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ
- เครื่องคำนวณลิมิต
- เครื่องคำนวณอินทิกรัลตามเส้น ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุกรมแมคลอริน ใหม่
- เครื่องคำนวณวิธีนิวตัน ใหม่
- เครื่องคำนวณการอินทิเกรตเชิงตัวเลข ใหม่
- เครื่องคำนวณการหาค่าสูงสุดต่ำสุด แคลคูลัส ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย
- เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง ใหม่
- เครื่องคำนวณรัศมีการลู่เข้า
- เครื่องคำนวณอัตราที่เกี่ยวข้อง ใหม่
- เครื่องคำนวณผลรวมรีมันน์ ใหม่
- เครื่องคำนวณวิธีรุงเง-คุตตา (RK4)
- เครื่องแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง ใหม่
- เครื่องคำนวณทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม ใหม่
- เครื่องคำนวณกฎของซิมป์สัน ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียว
- เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว ใหม่
- เครื่องคำนวณพื้นผิวของการหมุน ใหม่
- เครื่องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ใหม่
- เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์
- เครื่องคำนวณกฎสี่เหลี่ยมคางหมู ใหม่
- เครื่องคิดเลขปริพัทธ์สามชั้น
- เครื่องคำนวณปริมาตรของการหมุน ใหม่
- เครื่องคำนวณรอนสเกียน
- เครื่องคำนวณการแปลง Z ใหม่