เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง

หาอนุกรมกำลังของฟังก์ชันโดยมีศูนย์กลางที่จุดใดก็ได้ คำนวณสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์และแมคลอริน หารัศมีและช่วงการลู่เข้าพร้อมวิเคราะห์จุดปลาย และดูผลรวมย่อยลู่เข้า

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณอนุกรมกำลังลองใช้เลย — ฟรี ▼

ตัวอย่าง:

สูตรอนุกรมกำลัง (POWER SERIES FORMULA)

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$

ฟังก์ชัน f(x)

เลือกฟังก์ชันที่จะกระจาย

จุดศูนย์กลาง a

จุดของการกระจาย

จำนวนพจน์ (n)

0 ถึง 20

หาค่า ณ x =

ตรวจสอบค่าประมาณ

Embed เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง

เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง ช่วยหาการแทนค่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ด้วยอนุกรมกำลังโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด a ใดๆ โดยจะคำนวณสัมประสิทธิ์การกระจายของเทย์เลอร์/แมคลอริน, กำหนดรัศมีและช่วงแห่งการลู่เข้า (รวมถึงการวิเคราะห์จุดปลาย), แสดงการอนุพัทธ์ทีละขั้นตอนสำหรับแต่ละพจน์ และแสดงกราฟแอนิเมชันแบบโต้ตอบที่แสดงให้เห็นว่าผลรวมย่อยของอนุกรมลู่เข้าหาฟังก์ชันเดิมอย่างไร เครื่องมือนี้รองรับฟังก์ชันทั่วไป 11 ฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ตรีโกณมิติ, ลอการิทึม และฟังก์ชันพีชคณิต

แนวคิดหลักในเรื่องอนุกรมกำลัง

∑

อนุกรมกำลัง

Σ aₙ(x−a)ⁿ — พหุนามอนันต์

🎯

จุดศูนย์กลาง

ค่า a ซึ่งเป็นจุดยึดของอนุกรม

🔄

รัศมี R

ระยะจากจุดศูนย์กลางที่อนุกรมลู่เข้า

↔

ช่วง

(a−R, a+R) พร้อมการทดสอบจุดปลาย

📐

สัมประสิทธิ์

aₙ = f⁽ⁿ⁾(a) / n!

⚡

การลู่เข้า

ผลรวมย่อยลู่เข้าหา f(x)

สูตรที่สำคัญ

แนวคิด	สูตร	คำอธิบาย
อนุกรมกำลัง	$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$	รูปแบบทั่วไปที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a
สัมประสิทธิ์เทย์เลอร์	$a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}$	สัมประสิทธิ์จากอนุพันธ์อันดับที่ n
รัศมีแห่งการลู่เข้า	$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \|a_n\|^{1/n}}$	ทฤษฎีบทโคชี–อาดามาร์ (Cauchy–Hadamard)
การทดสอบอัตราส่วน	$R = \lim_{n \to \infty} \left\|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\|$	วิธีการทั่วไปในการหา R
เศษเหลือแบบลากรานจ์	$\|R_n(x)\| \leq \frac{M\|x-a\|^{n+1}}{(n+1)!}$	ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของผลรวมย่อย

ความเข้าใจเกี่ยวกับอนุกรมกำลัง

อนุกรมกำลังแทนฟังก์ชันในรูปของผลรวมอนันต์ของพจน์ที่มีเลขยกกำลังของ (x − a) เพิ่มขึ้น โดยที่ a คือจุดศูนย์กลางของการกระจาย แนวคิดหลักคือหากคุณทราบอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน ณ จุด a เพียงจุดเดียว คุณจะสามารถสร้างฟังก์ชันทั้งหมดขึ้นมาใหม่ได้ภายในรัศมีแห่งการลู่เข้า สัมประสิทธิ์แต่ละตัว aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! จะเก็บข้อมูลเกี่ยวกับความโค้งและพฤติกรรมอันดับสูงของฟังก์ชันที่จุดศูนย์กลาง เมื่อ a = 0 จะเรียกว่าอนุกรมแมคลอริน สำหรับจุดศูนย์กลางอื่นๆ จะเรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์

รัศมีและช่วงแห่งการลู่เข้า

อนุกรมกำลังทุกชุดมีรัศมีแห่งการลู่เข้า R ซึ่งกำหนดขอบเขตที่อนุกรมจะลู่เข้า สำหรับ |x − a| < R อนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ สำหรับ |x − a| > R อนุกรมจะลู่ออก รัศมีจะเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลาง a ไปยังจุดภาวะเอกฐานที่ใกล้ที่สุดของฟังก์ชันในระนาบคอมเพล็กซ์ ตัวอย่างเช่น 1/(1−x) ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a = 0 จะมี R = 1 เนื่องจากมีจุดภาวะเอกฐานที่ x = 1 ช่วงแห่งการลู่เข้าคือ (a − R, a + R) แต่จุดปลายต้องมีการทดสอบแยกต่างหากโดยใช้การทดสอบการลู่เข้า เช่น การทดสอบอนุกรมสลับหรือการเปรียบเทียบกับอนุกรมพี (p-series)

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง

เลือกฟังก์ชัน: เลือกจากเมนูแบบดรอปดาวน์ (เช่น eˣ, sin(x), ln(x), √x) หรือคลิกปุ่มตัวอย่างด่วนเพื่อกรอกข้อมูลในทุกช่องโดยอัตโนมัติ
ป้อนจุดศูนย์กลาง: พิมพ์ค่าของ a ใช้ 0 สำหรับอนุกรมแมคลอริน หรือค่าอื่นๆ เช่น π, 1 หรือ 4 สำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ทั่วไป
กำหนดจำนวนพจน์: ป้อน n (0 ถึง 20) จำนวนพจน์ที่มากขึ้นจะให้ความแม่นยำที่ดีกว่าแต่จะได้นิพจน์ที่ยาวขึ้น
หาค่า (ไม่บังคับ): ป้อนค่า x เพื่อคำนวณค่าประมาณพหุนาม P(x) และเปรียบเทียบกับค่าจริงของฟังก์ชัน f(x) พร้อมการวิเคราะห์ความคลาดเคลื่อน
ตรวจสอบผลลัพธ์: ตรวจสอบการกระจายพหุนาม, ช่วงแห่งการลู่เข้า (พร้อมภาพประกอบเส้นจำนวน), ตารางสัมประสิทธิ์, การอนุพัทธ์ทีละขั้นตอน และกราฟการลู่เข้าแบบโต้ตอบ ใช้สไลเดอร์หรือปุ่มแอนิเมชันเพื่อดูว่าผลรวมย่อยค่อยๆ ประมาณค่าฟังก์ชันได้อย่างไร

อนุกรมกำลัง vs. อนุกรมเทย์เลอร์ vs. อนุกรมแมคลอริน

คำเหล่านี้อธิบายแนวคิดที่เกี่ยวข้องกันแต่มีความแตกต่างกัน อนุกรมกำลัง คืออนุกรมใดๆ ในรูปแบบ Σ aₙ(x−a)ⁿ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าใดก็ได้ อนุกรมเทย์เลอร์ คืออนุกรมกำลังที่สัมประสิทธิ์มาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะ: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! ส่วน อนุกรมแมคลอริน คืออนุกรมเทย์เลอร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ a = 0 ในทางปฏิบัติ เมื่อผู้คนพูดว่า "หาอนุกรมกำลังของ f(x)" มักจะหมายถึงอนุกรมเทย์เลอร์ เครื่องคำนวณนี้จัดการได้ทั้งสามกรณี โดยตั้งค่า a = 0 สำหรับแมคลอริน หรือค่าอื่นๆ สำหรับการกระจายเทย์เลอร์ทั่วไป

การประยุกต์ใช้อนุกรมกำลัง

อนุกรมกำลังเป็นเครื่องมือพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์ ใช้เพื่อประมาณค่าฟังก์ชันอดิศัย (transcendental functions) สำหรับการคำนวณทางตัวเลข, แก้สมการเชิงอนุพันธ์ (โดยเฉพาะเมื่อไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด), หาค่าลิมิตและอินทิกรัลของนิพจน์ที่ซับซ้อน, วิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้จุดที่กำหนด และเป็นพื้นฐานให้กับไลบรารีการคำนวณทางวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ชิปเครื่องคิดเลขจำนวนมากใช้การตัดตอนอนุกรมกำลัง (truncated power series) ภายในเครื่องเพื่อคำนวณฟังก์ชันอย่าง sin, cos, exp และ log

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

อนุกรมกำลังคืออะไร?

อนุกรมกำลังคืออนุกรมอนันต์ในรูปแบบ Σ aₙ(x−a)ⁿ โดยที่ a คือจุดศูนย์กลาง, aₙ คือสัมประสิทธิ์ และ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงอินฟินิตี้ มันแทนฟังก์ชันในรูปของพหุนามอนันต์ เมื่อสัมประสิทธิ์ถูกนำมาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n!) จะเรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ และเมื่อ a = 0 จะเรียกว่าอนุกรมแมคลอริน

ช่วงแห่งการลู่เข้าคืออะไร?

ช่วงแห่งการลู่เข้าคือเซตของค่า x ทั้งหมดที่ทำให้อนุกรมกำลังลู่เข้าสู่ค่าที่จำกัดได้ โดยจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกระจาย a เสมอ และแผ่ออกไป R หน่วยในแต่ละทิศทาง โดยที่ R คือรัศมีแห่งการลู่เข้า จุดปลาย x = a − R และ x = a + R ต้องได้รับการทดสอบแยกกัน เนื่องจากอนุกรมอาจลู่เข้าที่จุดปลายด้านใดด้านหนึ่ง ทั้งสองด้าน หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้

จะหารัศมีแห่งการลู่เข้าได้อย่างไร?

รัศมีแห่งการลู่เข้า R สามารถหาได้โดยใช้การทดสอบอัตราส่วน (R = lim |aₙ/aₙ₊₁|) หรือการทดสอบราก (R = 1/limsup |aₙ|^(1/n)) สำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่ทราบค่า R จะเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลาง a ไปยังจุดภาวะเอกฐานที่ใกล้ที่สุดในระนาบคอมเพล็กซ์ ตัวอย่างเช่น ln(x) ที่ a = 1 จะมี R = 1 เพราะ x = 0 คือจุดภาวะเอกฐานที่ห่างออกไปหนึ่งหน่วย

อนุกรมกำลังและอนุกรมเทย์เลอร์ต่างกันอย่างไร?

อนุกรมเทย์เลอร์เป็นรูปแบบเฉพาะของอนุกรมกำลังที่สัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: aₙ = f⁽ⁿ⁾(a)/n! ส่วนอนุกรมกำลังทั่วไป Σ aₙ(x−a)ⁿ สามารถมีสัมประสิทธิ์ใดๆ ก็ได้ ในทางปฏิบัติ คำว่า "อนุกรมกำลัง" และ "อนุกรมเทย์เลอร์" มักถูกใช้แทนกันได้เมื่อสัมประสิทธิ์นั้นมาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ทราบค่า

ทำไมอนุกรมกำลังถึงลู่เข้าเฉพาะในบางช่วง?

อนุกรมกำลังลู่เข้าในชวงที่สมมาตรรอบจุดศูนย์กลางเนื่องจากจุดภาวะเอกฐาน (จุดที่ฟังก์ชันไม่นิยามหรือไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์) ในระนาบคอมเพล็กซ์ รัศมีแห่งการลู่เข้าจะเท่ากับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดภาวะเอกฐานที่ใกล้ที่สุด แม้ว่าฟังก์ชันจะมีพฤติกรรมดีบนเส้นจำนวนจริง แต่จุดภาวะเอกฐานในระนาบคอมเพล็กซ์ที่ระยะทางเดียวกันก็สามารถจำกัดการลู่เข้าได้ เช่น 1/(1+x²) ไม่มีจุดภาวะเอกฐานบนจำนวนจริง แต่มีจุดภาวะเอกฐานในระนาบคอมเพล็กซ์ที่ x = ±i ทำให้ R = 1 เมื่อมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอนุกรมกำลัง/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool. อัปเดตเมื่อ: 2026-04-06

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.