順列電卓
ステップごとの解説、視覚的な説明、公式の分解、実用的な例を使用して順列 P(n,r) を計算します。順序が重要な場合に、全 n 個のアイテムから r 個を並べる方法が何通りあるかを確認できます。
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順列電卓
順列電卓へようこそ。これは、ステップバイステップの解決策、視覚的な例、および教育的な解説を備えた、順列 P(n,r) を計算するための包括的なツールです。組合せ論を勉強している場合でも、確率の問題を解いている場合でも、あるいは現実世界の配置の問題に取り組んでいる場合でも、この電卓は詳細な公式の内訳とともに即座に結果を提供します。
順列とは何ですか？
順列とは、特定の順序でオブジェクトを並べることです。順序が関係ない組合せとは異なり、順列では項目の配列や順序が重要視されます。順列の数は、n 個の異なる項目の集合から選択された r 個の項目を並べる方法が何通りあるかを示します。
例えば、3冊の本 (A, B, C) があり、そのうちの2冊を棚に並べたい場合、順列は次のようになります：AB, BA, AC, CA, BC, CB。AB と BA は異なる（順序が重要）と見なされるため、6通りの異なる配置となります。
順列の公式
ここで：
- n = 利用可能な異なる項目の総数
- r = 選択して並べる項目の数
- n! = n の階乗 = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
簡略化された順列の公式
公式は、r 個の連続する整数の積としても書くことができます：
順列 vs 組合せ
順列と組合せの主な違いは、順序が重要かどうかです：
| 側面 | 順列 P(n,r) | 組合せ C(n,r) |
|---|---|---|
| 順序 | 順序が重要 | 順序は重要ではない |
| 公式 | n!/(n-r)! | n!/[r!(n-r)!] |
| 結果 | より大きい（より多くの配置） | より小さい（より少ない選択） |
| 例 | ランキング、パスワード、席順 | 委員会の選出、宝くじ |
| 関係性 | P(n,r) = C(n,r) × r! | |
この電卓の使い方
- n (総項目数) を入力： 利用可能な異なる項目の総数を入力します。
- r (並べる項目数) を入力： 選択して並べたい項目の数を入力します。これは n 以下である必要があります。
- 計算をクリック： ボタンを押して、ステップバイステップの解決策とともに P(n,r) を計算します。
- 結果を確認： 総順列数、組合せとの比較、視覚的な例、および詳細な計算手順を確認します。
順列の現実世界での例
ランキングと競技会
10人の走者がいるレースで、1位、2位、3位の決まり方は何通りありますか？
P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 通りの表彰台の配置
パスワード作成
26文字のアルファベットから（重複なしで）4文字のパスワードは何通り作れますか？
P(26, 4) = 26 × 25 × 24 × 23 = 358,800 通りのユニークなパスワード
座席の配置
5人が5つの椅子に座る方法は何通りありますか？
P(5, 5) = 5! = 120 通りの異なる座席配置
タスクスケジューリング
8つのタスクがあり、そのうち4つを順番にスケジュールする必要がある場合、何通りのスケジュールが可能ですか？
P(8, 4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1,680 通りの異なるスケジュール
順列の特殊なケース
P(n, n) = n!
r が n と等しい場合、すべての項目を並べることになります。 P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!
P(n, 0) = 1
0個の項目を並べる方法はちょうど1つあります。それは「何もしない」ことです。
P(n, 1) = n
n 個から 1 個を選択して並べるのは n 通りの可能性があります。
一般的な順列の値
| P(n,r) | 値 | コンテキスト |
|---|---|---|
P(4,2) | 12 | 4個から2個を並べる |
P(5,3) | 60 | 5人に3つの賞を与える |
P(10,3) | 720 | 10人の出場者から上位3人 |
P(26,4) | 358,800 | アルファベットによる4文字のコード |
P(52,5) | 311,875,200 | 5枚のカードを順番に配る |
重複順列
この電卓は重複なしの順列を扱います（各項目は1回しか使用できません）。重複を許す順列（項目を再利用できる場合）の公式は、単に nr です。
よくある質問
順列とは何ですか？
順列とは、特定の順序でオブジェクトを並べることです。組合せとは異なり、順列では項目の順序が重要視されます。例えば、順序が関係する棚への3冊の本の並べ方は順列の問題です。公式は P(n,r) = n!/(n-r)! で、nは総数、rは並べる項目の数です。
順列と組合せの違いは何ですか？
主な違いは、順列は順序を考慮するのに対し、組合せは考慮しない点です。P(n,r) = n!/(n-r)! は順序のある配置を数え、C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] は順序のない選択を数えます。例えば、10人の中から会長、副会長、書記を選ぶのは順列（順序が重要）ですが、3人の委員を選ぶのは組合せ（順序は重要ではない）です。
P(n,r)の計算方法は？
P(n,r)を計算するには：1) n（総数）と r（並べる数）を特定します。2) 公式 P(n,r) = n!/(n-r)! を使用します。3) これは n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1) と簡略化でき、nから始まるr個の連続する数字の積になります。例えば、P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 です。
P(n,n)は何に等しいですか？
P(n,n) = n! であり、これは n 個の項目すべてを並べる方法の数です。r が n と等しい場合、公式 P(n,r) = n!/(n-r)! は n!/0! = n!/1 = n! となります。例えば、P(4,4) = 4! = 24 で、これは 4 つの異なる項目を並べる方法が 24 通りあることを意味します。
順列の現実世界での例は何ですか？
一般的な順列の例には、本棚への本の並べ替え、レースの着順、パスワードやPINコードの作成、特定の順序でのタスクのスケジューリング、夕食の席順、競技会の順位付け、電話番号の組み合わせなどがあります。項目の順序や配置が重要なシナリオはすべて順列を使用します。
なぜ順列の公式に階乗が使われるのですか？
階乗が順列の公式に現れるのは、それらがあらゆる可能な配置を数えるためです。n 個の項目の場合、1番目の位置には n 通りの選択肢、2番目の位置には (n-1) 通りの選択肢、というようになります。その積 n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n! です。r 個の位置だけを選択する場合、使用しない位置の配置を取り除くために (n-r)! で割ります。
関連リソース
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"順列電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/順列電卓/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool チーム. 更新日: 2026年1月29日
また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。