作業フローを簡素化：miniwebtoolを検索。
追加
関連ツール
3D曲面プロッター平均変化率計算機ベルヌーイ方程式ソルバーオイラー法電卓一階常微分方程式ソルバー点傾き形式電卓極方程式プロッター二階常微分方程式ソルバー勾配切片フォーム電卓標準形から傾き切片形への変換
ホームページ > 数学 > 微積分 > 方向場・傾き場プロッター
 

方向場・傾き場プロッター

任意の1階常微分方程式 y' = f(x, y) の傾き場を指定した x-y 領域にプロットします。キャンバスをクリックして新しい解曲線を生成したり、場に沿った粒子の流れや平衡ヌルクラインを確認したりできます。保存や共有が可能な純粋な SVG としてレンダリングされます。

方向場・傾き場プロッター
プリセット例:
y' = y - x (鞍型場) y' = x·y (ガウス鐘型曲線群) y' = sin(x) - y (減衰振動) y' = y·(1 - y) (ロジスティック成長) y' = x² - y (放物線状のアトラクター) y' = -x/y (同心円)
y' =
変数 x と y、演算子 + - * / ^、関数 sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs を使用してください。定数 pi と e も使用可能です。
最小
最大
最小
最大
各初期条件により、1つの RK4 解曲線が生成されます。プロット後、キャンバスをクリックしてさらに追加することもできます。

Embed 方向場・傾き場プロッター Widget

方向場・傾き場プロッター

方向場・傾き場プロッターは、任意の1階常微分方程式 y' = f(x, y) の幾何学的構造を、解析的に解くことなく視覚化する電卓です。カスタマイズ可能なグリッド上のすべての点で、その点での傾きが f(x, y) に等しい小さな接線分を描画し、解曲線の族全体を一目で明らかにします。インタラクティブな SVG キャンバスにより、クリックして RK4 積分された解曲線を生成したり、場に沿って流れる粒子をアニメーション化したり、結果を出版品質の画像としてエクスポートしたりできます。

方向場とは何ですか？

1階 ODE y' = f(x, y) が与えられたとき、方向場（傾き場とも呼ばれる）は、規則的な間隔で配置された点 (xi, yj) に置かれた短い線分のグリッドです。各線分は f(xi, yj) の傾きを持ち、これはその点を通過する解曲線の接線の傾きとなります。解はどこを通っても常に場に接していなければならないため、全体の図形は、明示的な公式を書き下ろす前に、アトラクタ、リペラ、平衡線、振動といった ODE の質的な振る舞いを示してくれます。

y' = dy/dx = f(x, y) → 点 (x, y) に傾き f(x, y) の線分を描画

この手法は、微分方程式の定性的理論の一部として20世紀初頭に普及し、現在ではすべての初等常微分方程式コースの標準的な教育ツールとなっています。

このプロッターが優れている理由

機能 本ツール 一般的なオンラインプロッター
クリックによる曲線追跡 任意の場所をタップして、そこを開始点とする新しい RK4 解を配置 固定された曲線のセット。フォームの再送信が必要
フローアニメーション 粒子がリアルタイムで場に沿って流れる 静止画像のみ
傾きの大きさによる色分け 対数スケールのグラデーションにより、ヌルクラインやスティフな領域を視認可能 全体が単色
ベクターエクスポート 無限にズーム可能な SVG として保存 ラスター形式の PNG のみ
ホバー読み取り カーソル下の (x, y) と傾きを表示 ライブフィードバックなし

解曲線の計算方法

指定された各初期条件 (x₀, y₀) に対して、ツールは古典的な4次ルンゲ＝クッタ（RK4）法を使用して ODE を積分します。RK4 は1ステップにつき、開始時に1回、中間に2回、最後に1回、計4回傾きをサンプリングし、それらを加重平均で組み合わせます。

k₁ = f(x, y) k₂ = f(x + h/2, y + h·k₁/2) k₃ = f(x + h/2, y + h·k₂/2) k₄ = f(x + h, y + h·k₃) yn+1 = yn + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

RK4 の局所切り捨て誤差は O(h5)、大域誤差は O(h4) であるため、ステップサイズが小さくなるにつれて、オイラー法よりも4倍速く真の解に収束します。プロッターは (x₀, y₀) から前方および後方の両方向に積分するため、曲線は初期点の両側に伸び、表示領域全体を満たします。

プロットの読み方

平衡線とヌルクライン

線分が水平になる場所はヌルクライン（f(x, y) = 0 となる曲線）の上にあります。自励系 ODE y' = g(y) では、定数ヌルクラインは平衡解となります。色分けにより、これらは青い水平方向の帯として簡単に見つけることができます。

安定平衡 vs 不安定平衡

安定平衡点では、周囲の解がそこに向かって巻き込みます。上の矢印は下を向き、下の矢印は上を向きます。不安定平衡点では、逆のことが起こります。y' = y(1 − y) の場合、y = 1 は安定、y = 0 は不安定です。これはロジスティックプリセットで即座に確認できます。

急峻な領域とスティフネス

赤い線分は |f(x, y)| が大きい場所を示しており、そこでは解が急速に変化します。プロットが赤で占められている場合、その領域で方程式はスティフ（剛い）であり、数値積分器が精度を維持するためには小さなステップサイズが必要になります。

受け入れ可能な入力形式

1. 微分方程式

x と y を使用した有効な数学式として解析できるものであれば何でも可能です。一般的な例: y - x, x*y, sin(x) - y, exp(-x^2) + y, y*(1-y)。キャレット ^ は自動的に ** に変換されます。

2. ドメイン

x 範囲と y 範囲の4つの数字です。正方形のドメインが最も読みやすいプロットを提供します。一方の軸が極端に長い場合、傾きの値は正しくても接線分が歪んで見えることがあります。

3. 初期条件

セミコロンまたは改行で区切られた x, y のペアのリストです。各ペアが1つの RK4 解曲線になります。最大8つの初期条件を受け付けます。追加の曲線は、プロットをクリックしてインタラクティブに追加できます。

このプロッターの使い方

  1. 発現式フィールドに y' = f(x, y) の右辺を入力するか、6つのプリセット例から1つを選択して古典的な振る舞いを確認します。
  2. x 範囲と y 範囲を設定します。 興味深い振る舞いの近くを中心とした正方形の領域から始め、その後、範囲を絞って再送信することでズームインします。
  3. 初期条件を セミコロンで区切られた x, y ペアとしてリストします。空白のままにして、プロット後に曲線を追加することもできます。
  4. 「方向場をプロット」をクリックします。 傾き線分、色分けされた大きさ、および指定した解曲線を含む SVG が即座にレンダリングされます。
  5. 操作: キャンバス上の任意の場所をクリックまたはタップして解曲線を追加し、ホバーして (x, y, 傾き) を読み取り、「フローをアニメーション化」を押して粒子が場に沿って流れるのを確認し、あるいは「SVG を保存」してエクスポートします。

計算例

古典的な方程式 y' = y − x を例に取ります。ヌルクラインは傾きがゼロになる直線 y = x です。この線より上では傾きが正（矢印が上を向く）、下では傾きが負（矢印が下を向く）であるため、すべての解曲線は垂直方向に y = x から漸近的に遠ざけられます。

y' = y − x → ヌルクライン: y = x 一般解: y = x + 1 + C·ex

プロッターはこの幾何学的構造を視覚的に裏付けます。特殊解 y = x + 1 を除くすべての軌跡は指数関数的に発散し、色分けによって直線 y = x が傾きが消失する鮮やかな青い筋として現れます。

一般的な用途

制限事項

このツールは1階の明示的 ODEのみを扱います。dy/dx = f(x, y), dz/dx = g(x, y, z) のような系には相平面ツールが必要です。隠伏的な方程式 F(x, y, y') = 0 は、プロットする前に y' = f(x, y) の形式に書き換える必要があります。特異点（f(x, y) が無限大または未定義になる点）の近くではグリッドがまばらになり、RK4 の追跡は外挿せずにきれいに停止します。

よくある質問

方向場（傾き場）とは何ですか？

方向場または傾き場は、x-y 平面内の等間隔の点に配置された短い線分のグリッドです。各点 (x, y) において、線分は f(x, y) に等しい傾きを持ちます。これは1階 ODE y' = f(x, y) の右辺です。ODE の解曲線はすべての点で線分に接する必要があるため、方程式を解析的に解くことなく解の族全体を視覚化できます。

ツールはどのように解曲線を描画しますか？

提供されたすべての初期条件に対して、ツールは小さなステップサイズで古典的な4次ルンゲ＝クッタ（RK4）法を使用して ODE を数値的に積分します。RK4 は1ステップあたり4回傾きを評価し、それらを加重平均で組み合わせて、O(h^4) の精度を持つ軌跡を生成します。曲線は、プロット領域を出るか傾きが無限大になるまで、開始点から前方と後方の両方に追跡されます。

式にはどのような関数を使用できますか？

算術演算子 + - * / ^ と変数 x, y、さらに三角関数 (sin, cos, tan, asin, acos, atan)、双曲線関数 (sinh, cosh, tanh)、指数・対数関数 (exp, ln, log, log10)、平方根 (sqrt)、絶対値 (abs)、および定数 pi と e を使用できます。有効な式の例には y - x, x*y, sin(x)*cos(y), exp(-x^2) + y などがあります。

色の意味は何ですか？

「傾きの大きさで色分け」が選択されている場合、各傾き線分はその点での傾きの大きさに応じて対数スケールで色付けされます。青は小さな傾き（ほぼ水平な流れ）を示し、赤は大きな傾き（ほぼ垂直な流れ）を示します。これにより、平衡線、スティフな領域、アトラクタなどの特徴を一目で確認できます。

ヌルクラインとは何ですか？なぜ重要なのですか？

ヌルクラインは f(x, y) = 0 となる点の集合であり、方向場はヌルクラインに沿って水平になります。自励系の ODE では、ヌルクラインに平衡解が含まれることが多く、非自励系の方程式では解の転換点となります。ツールでは、色分けがオンのときに、これらの領域をほぼ水平な青い線分で強調します。

このツールはモバイルで使用できますか？

はい。レイアウトは小さな画面に適応し、SVG プロットはタッチイベントを使用するため、キャンバス上の任意の場所をタップして新しい解曲線を追加できます。すべての計算はサーバー側で実行されるため、ツールはスマートフォン、タブレット、デスクトップで同様に動作します。

参考文献

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"方向場・傾き場プロッター"（https://MiniWebtool.com/ja/方向場・傾き場プロッター/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

by miniwebtool チーム. 更新日: 2026年4月22日

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

微積分:

おすすめ:

InstagramユーザーID検索パーセンテージ減少電卓不可視文字除去ツール弧長電卓MACアドレス検索パーセント増加電卓ランダム誕生日ジェネレーター円錐展開図テンプレートジェネレーターランダムカラージェネレーター画像分割ツールwar電卓ランダム超能力ジェネレーター動画を結合エンジェルナンバー電卓シグマ記法電卓 総和パーセント誤差電卓合計電卓フィートとインチからセンチメートルへのコンバーター動画を逆再生英単語ランダム生成ツールYouTubeチャンネル統計標準偏差電卓 - 高精度ASCIIコード表MP3ルーパー平方完成電卓kva計算機売上総利益率電卓楕円円周電卓ai句読点追加番号を並べ替えるコラッツ予想電卓マン・ホイットニーのU検定計算機水星逆行カレンダービンゴカードジェネレーターFPSコンバーターHEX電卓ランダムトーナメント表作成ツール筆算割り算電卓相対標準偏差電卓熱膨張計算機私のIPアドレスは何ですかランダム絵文字ジェネレーターデシベル (dB) 電卓空の行を削除する手数料電卓逆テキスト血糖値コンバーター関数電卓中央値電卓対数電卓土星回帰電卓圧力電卓じゃんけんジェネレーターCAGR電卓HEXコンバーター動画を回転比率電卓水泳ペース計算機ビデオ速度を調整モジュロ電卓分数電卓ボウリングスコア計算機分散電卓 高精度t検定電卓労働時間計算ツールオンライン句読点削除ツール加速度電卓センチメートルからフィートとインチへのコンバーター正多角形電卓fena電卓ランダム名前ジェネレーター中間日計算機💧 露点電卓マスターナンバー電卓年の日電卓 - 今日は今年の何日目オーディオ スプリッター10進数からBCDへのコンバーターランダム時刻ジェネレーター画像回転ツール角速度計算機太陽位置計算機小数時間から普通の時間へのコンバーター文字数による改行相関係数計算機コラージュメーカーFacebookユーザーID検索log-base-2電卓表面積電卓ボクシングパンチ力計算機AIテキストヒューマナイザーatan2電卓ランダム日付ジェネレーターFIP電卓SRTからTXTへの変換ツールXMLバリデーターバイナリ電卓素数ですかBUN対クレアチニン比電卓クロスワードパズルメーカー外れ値電卓指数電卓-高精度動画から画像抽出ツール求人検索1マイルウォークテストロックポート電卓GIFメーカーアナグラム生成器配当利回り電卓CPM 電卓ジョルダン標準形電卓TikTok収益計算ツールボルト締付トルク計算機四次方程式計算機階段電卓csvからsrtへ魔方陣ジェネレーター🖱️ クリックカウンター二乗平均平方根電卓平均寿命電卓沸点計算ツールSRT 時間シフト 電卓バーコードジェネレーター変動係数電卓角度変換ツールANC電卓Twitch収益計算ツールサッカーxg期待ゴール電卓割り切れるテスト電卓パレットジェネレーター筆算足し算・引き算計算機迷路ジェネレーター配管流量電卓学習曲線電卓最小公倍数電卓桁数電卓積分電卓アンテナ長計算機ニュートン法電卓ピタゴラスの定理電卓ランダム映画ピッカージニ係数電卓タンジェント電卓ビデオをループ再生ランダムアニマルジェネレーターランダムトランプカードジェネレーター三角関数グラフ作成ツール赤ちゃんのミルク量計算斜辺電卓🔊 トーンジェネレーターノノグラムジェネレーター (ピクロス)ヒジュラ暦変換器ワイヤーゲージ電卓変化率電卓平方根電卓猫カロリー電卓科学表記法電卓馬力電卓⚔️ DPS電卓熱伝達計算機車両重量配分計算機PSIからbarへの変換器ランダムクレジットカードジェネレーター円錐台電卓BCDからバイナリへのコンバーターランダム算数問題ジェネレーター平均電卓-高精度平方数リストVTTからtxtへのコンバーターガウス分布ジェネレーターパスワード強度テスターヒストグラムメーカー並列抵抗電卓太陽・月・上昇星座電卓 🌞🌙✨IPアドレスから16進数への変換トルク電卓ランダムPIN生成器中間点電卓営業利益率電卓週番号計算機CRC32チェックサム電卓発音IPA変換ツールCMYKからHEXへの変換ツールサンプルサイズ電卓上下反転テキストジェネレーター動画圧縮四分位範囲電卓日割り家賃計算長方形の電卓10進数から16進数へのコンバーター3d距離電卓YouTubeショート収益化計算ツールZalgoテキストジェネレーターエラー関数電卓🎰 ガチャ天井計算機🎮 ゲーム感度変換器世界時計周波数波長変換ツール退職カウントダウンAIトークンカウンターHTMLからテキストコンバータパーセントからppmへのコンバーター打撃ストライクレート電卓ネットランレート計算機KDレシオ計算機Eloレーティング計算機心拍数回復電卓ハイキング時間計算機ローイングペース計算機ランニング年齢グレード計算機FTP・パワーゾーン計算機Beepテスト電卓ACFTスコア電卓Wilks & DOTS 電卓ホイールオフセット電卓タイヤ負荷指数・速度レーティング検索マイルあたりコスト電卓リース買取電卓オクタン価ブレンド電卓2ストロークオイル混合電卓エンジン排気量計算ソファ搬入電卓薪コード計算機空気清浄機CADR電卓除湿機サイズ計算シーリングファンサイズ電卓カーテンサイズ計算機ラグサイズ電卓額縁の掛け高さ計算機テレビ取り付け高さ計算機テレビサイズ電卓池の容量・ライナー電卓プール塩量計算機プール容量計算給湯器サイズ電卓エポキシ樹脂計算機手すり子間隔電卓巾木とトリムの電卓サイディング計算機デッキ用ステインの計算芝生の種計算機芝生電卓アスファルト電卓立方ヤード電卓電線管充填率電卓直列並列コンデンサ電卓誘導リアクタンス計算機部屋の照明計算機ルクスからルーメン電卓ルーメンからワット変換器発電機サイズ計算機mAh Wh 変換器 電卓三相電力計算機アンペアからワット電卓ワットからアンペア電卓直列抵抗計算機摩擦計算機斜面計算機機械的倍率計算機音速計算機波の速度計算機浮力電卓終端速度計算機ド・ブロイ波長計算機光子エネルギー計算機emc2電卓時間の遅れ計算機ケプラーの第三法則計算機脱出速度計算機万有引力計算機ベール・ランベルトの法則電卓ネルンストの式計算機浸透圧計算機沸点上昇電卓凝固点降下計算パーセント組成計算機規定度計算機質量モル濃度計算機pKa→Ka変換器ヘンダーソン・ハッセルバルヒ電卓理論収量計算機制限反応物計算機電子配置計算機インタラクティブ周期表AI授業計画ジェネレーターAIクイズ作成ツール引用ジェネレーター (APA/MLA/Chicago)出席率計算APスコア計算機ACTスコア計算機SATスコア電卓パーセンテージからCGPA変換器CGPAからパーセンテージへの変換器簡単採点ツール EZ Grader子育て費用計算機おむつサイズ電卓赤ちゃんの名前ジェネレーター赤ちゃんの目の色予測子供のBMIパーセンタイル計算機子供の身長予測ツールhcg倍加時間計算ツール体外受精出産予定日電卓着床計算ツール中国式性別予測カレンダーISO 8601 日付フォーマッターユリウス日変換器昼寝電卓月相電卓日の出＆日の入り電卓日付ローマ数字変換電卓ソブリエティ計算機ハーフバースデー計算機記念日計算機チップ分配計算機メールマーケティングROI電卓リード獲得単価計算機運転資本計算機youtube収益見積もりツールランダムRPGキャラクタージェネレーター