コレスキー分解電卓
対称正定値行列を A = LLᵀ に分解し、ステップバイステップの計算をアニメーションで表示します。下三角行列 L の各要素が完全な公式で導出される様子を確認し、結果を検証し、分解を視覚的に探索できます。
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コレスキー分解電卓
コレスキー分解計算機は、対称正定値行列Aを、下三角行列Lとその転置Lᵀの積に分解し、A = LLᵀとします。この分解は数値線形代数の基本手法で、行列の対称性と正定値性を利用することで、一般的なLU分解のおよそ2倍の効率を実現します。計算機ではアニメーションによる段階的な導出、インタラクティブなセルのハイライト、LLᵀがAを再現することの自動検証を提供します。
How Cholesky Decomposition Works
n×nの対称正定値行列Aが与えられると、アルゴリズムは列ごとにLを計算します。各列jについて：
Diagonal element:
$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$
Off-diagonal elements (for i > j):
$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$
アルゴリズムは列を左から右へ処理していきます。各対角成分の計算には平方根が含まれますが、Aが正定値であれば、その値は必ず実数かつ正になります。平方根の中が負の値になった場合、その行列は正定値ではありません。
Conditions for Cholesky Decomposition
| Condition | Requirement | What Happens If Violated |
|---|---|---|
| Symmetric | A = Aᵀ (A[i,j] = A[j,i]) | Decomposition is undefined |
| Positive-Definite | All eigenvalues > 0 | Negative under square root |
| Square | n×n matrix | Not applicable to rectangular |
Key Properties
コレスキー分解計算機の使い方
- 行列サイズを選択 — 2×2から6×6までの中から選びます。コレスキー分解には正方行列が必要です。
- 値を入力 — 行列のセルを入力します。計算機は対称性を保つため、対角線を挟んで入力を自動的にミラーします（A[i,j]を編集するとA[j,i]も自動的に設定されます）。
- 「Decompose」をクリック — 「Decompose A = LLᵀ」ボタンを押して分解を計算します。
- 結果を確認 — 色分けされたA = L × Lᵀの式を確認します。Lの各セルをクリックすると、その導出式が表示されます。「Play All」を使うと、すべての要素を自動的にステップ表示できます。
- 検証 — 計算機はL × Lᵀを掛け合わせて最大誤差を報告し、分解結果が正しいことを確認します。
Real-World Applications
Cholesky vs Other Decompositions
| Method | Factorization | Requirements | Complexity |
|---|---|---|---|
| Cholesky | A = LLᵀ | Symmetric positive-definite | n³/3 |
| LU | A = LU (or PA = LU) | Invertible | 2n³/3 |
| QR | A = QR | Any matrix | 2n³/3 (Householder) |
| SVD | A = UΣVᵀ | Any matrix | ~11n³/3 |
| Eigendecomposition | A = QΛQᵀ | Symmetric | ~9n³ |
Frequently Asked Questions
What is Cholesky decomposition?
コレスキー分解（アンドレ＝ルイ・コレスキーにちなんで命名）は、対称正定値行列AをA = LLᵀに分解する手法です。Lは対角成分が正の下三角行列です。これは、利用可能な行列分解の中でも最も効率的かつ数値的に安定した手法の一つです。
When can Cholesky decomposition be applied?
行列は対称（A = Aᵀ）かつ正定値（すべての固有値が厳密に正、または同義的に、ゼロでない任意のベクトルxに対してxᵀAx > 0）である必要があります。代表的な例には、共分散行列、相関行列、グラム行列（フルランクのXに対するXᵀX）、構造工学における剛性行列などがあります。
What if my matrix is not positive-definite?
行列が正定値でない場合、分解の途中で平方根の中が負の値になり、実数として扱えなくなります。計算機は、どの対角成分のステップで失敗したかを示すエラーを報告します。行列に対称性の誤りがないか確認するか、半正定値行列にはLDLᵀ分解の利用を検討してください。
コレスキー分解は連立一次方程式を解くのにどう使われますか？
Ax = bを解くには、まずA = LLᵀに分解します。次に、Lが下三角行列であることを利用して前進代入でLy = bを解き、続いて後退代入でLᵀx = yを解きます。LとLᵀが同じデータを共有するため、LU分解で解く場合のおよそ2倍の速さになります。
コレスキー分解と行列式の関係は？
A = LLᵀであることから、det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)²となります。Lは三角行列なので、det(L)は単純にその対角成分の積です。これにより、正定値行列の行列式を効率的に計算できます。
コレスキー分解は複素行列にも適用できますか？
はい、複素行列の場合はAがエルミート正定値（A = A*、A*は共役転置）である必要があります。分解はA = LLᵀとなりますが、Lᵀの代わりにL*（Lの共役転置）が使われます。この計算機は実数値の行列のみを扱います。
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"コレスキー分解電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/コレスキー分解計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool team. Updated: 2026-04-12
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