Calculateur d'Évaluation d'Options Black-Scholes

Calculateur d'Évaluation d'Options Black-Scholes

Bienvenue sur le Calculateur d'Évaluation d'Options Black-Scholes, un outil de niveau professionnel qui calcule la juste valeur théorique des options d'achat (call) et de vente (put) européennes à l'aide du modèle Black-Scholes, lauréat du prix Nobel. Ce calculateur fournit une analyse complète des grecques, des visualisations interactives et des mesures de risque complètes essentielles pour les traders d'options, les analystes financiers et les étudiants étudiant les produits dérivés.

Qu'est-ce que le modèle Black-Scholes ?

Le modèle Black-Scholes (également connu sous le nom de modèle Black-Scholes-Merton) est un cadre mathématique pour l'évaluation des contrats d'options de style européen. Développé par Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton en 1973, ce travail révolutionnaire a valu à Scholes et Merton le prix Nobel d'économie en 1997 (Black était déjà décédé à cette époque).

Le modèle a révolutionné les marchés financiers en fournissant la première méthode analytiquement traitable pour calculer le juste prix d'une option. Avant Black-Scholes, les options étaient souvent évaluées sur la base de l'intuition et de l'expérience. La formule élégante du modèle a donné aux traders et aux institutions un moyen standardisé d'évaluer les options, ce qui a entraîné la croissance explosive des marchés d'options dans le monde entier.

Hypothèses clés du modèle Black-Scholes

• Options de style européen : L'option ne peut être exercée qu'à l'expiration, pas avant
• Pas de dividendes : L'action sous-jacente ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option (bien que le modèle puisse être modifié pour les dividendes)
• Marchés efficients : Les marchés sont parfaitement liquides sans opportunités d'arbitrage
• Pas de coûts de transaction : La négociation de l'action et de l'option n'implique ni frais ni commissions
• Volatilité constante : La volatilité de l'action reste constante pendant la durée de vie de l'option
• Taux d'intérêt constants : Le taux sans risque reste constant pendant la durée de vie de l'option
• Distribution log-normale : Les prix des actions suivent un mouvement brownien géométrique avec dérive

Les formules de Black-Scholes

Prix de l'option d'achat (Call)

Prix de l'option de vente (Put)

Les paramètres d1 et d2

Où :

• S = Prix actuel de l'action
• K = Prix d'exercice
• T = Temps jusqu'à l'expiration (en années)
• r = Taux d'intérêt sans risque (annualisé)
• sigma = Volatilité (écart-type annualisé)
• q = Rendement continu des dividendes
• N(x) = Fonction de répartition de la loi normale standard
• e = Nombre d'Euler (environ 2,71828)

Comprendre les grecques d'option

Les grecques sont des mesures de risque essentielles qui décrivent comment le prix d'une option change par rapport à divers facteurs. Les traders professionnels utilisent les grecques pour comprendre, mesurer et couvrir leurs positions d'option.

Grecque	Mesure	Interprétation
Delta	Sensibilité du prix au mouvement de l'action	Un delta de 0,5 signifie que le prix de l'option change de 0,50 $ pour chaque mouvement de 1 $ de l'action
Gamma	Taux de variation du delta	Mesure la rapidité avec laquelle le delta change lorsque l'action bouge ; plus élevé pour les options à la monnaie
Theta	Dépréciation temporelle par jour	Indique combien de valeur l'option perd chaque jour ; toujours négatif pour les options longues
Vega	Sensibilité à la volatilité	Indique de combien le prix de l'option change pour une variation de 1 % de la volatilité implicite
Rho	Sensibilité aux taux d'intérêt	Indique de combien le prix de l'option change pour une variation de 1 % des taux d'intérêt

Delta en détail

Le Delta est la grecque la plus couramment utilisée. Pour les options d'achat, le delta varie de 0 à 1 ; pour les options de vente, de -1 à 0. Le delta peut également être interprété comme la probabilité approximative que l'option expire dans la monnaie. Une option à la monnaie a généralement un delta proche de 0,5 pour les calls ou de -0,5 pour les puts.

Gamma en détail

Le Gamma mesure la convexité de la valeur d'une option. Il est toujours positif pour les calls et les puts. Les options à gamma élevé subissent des changements rapides de delta lorsque l'action bouge, ce qui les rend plus sensibles aux mouvements de prix. Le gamma est le plus élevé pour les options à la monnaie proches de l'expiration.

Theta en détail

Le Theta représente l'érosion quotidienne de la valeur temps d'une option. Toutes choses étant égales par ailleurs, les options perdent de la valeur avec le temps. Cette dépréciation temporelle s'accélère à l'approche de l'expiration, en particulier pour les options à la monnaie. Le theta est l'ennemi des acheteurs d'options et l'ami des vendeurs d'options.

Vega en détail

Le Vega mesure la sensibilité du prix d'une option aux changements de la volatilité implicite. Une volatilité plus élevée augmente le prix des options car il y a une plus grande probabilité de mouvements de prix significatifs. Le vega est le plus élevé pour les options à la monnaie avec un temps jusqu'à l'expiration plus long.

Rho en détail

Le Rho mesure la sensibilité aux taux d'intérêt. Des taux d'intérêt plus élevés augmentent généralement la valeur des options d'achat et diminuent la valeur des options de vente. Le rho devient plus important pour les options à plus long terme mais est généralement la grecque la moins importante pour le trading à court terme.

Comment utiliser ce calculateur

1. Entrez le prix actuel de l'action (S) : Saisissez le prix de marché actuel de l'action sous-jacente. C'est le prix auquel l'action se négocie actuellement.
2. Définissez le prix d'exercice (K) : Entrez le prix d'exercice de l'option. C'est le prix auquel vous pouvez acheter (call) ou vendre (put) l'action lors de l'exercice de l'option.
3. Spécifiez le temps jusqu'à l'expiration (T) : Saisissez le temps restant jusqu'à l'expiration en années. Par exemple, 0,5 pour 6 mois, 0,25 pour 3 mois, ou divisez les jours par 365.
4. Entrez le taux sans risque (r) : Saisissez le taux d'intérêt sans risque actuel sous forme de pourcentage. Utilisez généralement le rendement des obligations d'État correspondant à l'expiration de l'option.
5. Réglez la volatilité (sigma) : Entrez la volatilité annualisée sous forme de pourcentage. Vous pouvez utiliser la volatilité historique ou la volatilité implicite d'options similaires.
6. Ajoutez le rendement des dividendes (facultatif) : Si l'action verse des dividendes, entrez le rendement continu des dividendes. Laissez à 0 pour les actions ne versant pas de dividendes.
7. Calculez et analysez : Affichez les résultats complets, y compris les prix des options, toutes les grecques, les mesures de probabilité et les graphiques interactifs.

Comprendre vos résultats

Prix des options

Le calculateur affiche les prix théoriques des options d'achat et de vente. Ceux-ci représentent la juste valeur selon le modèle Black-Scholes. Les prix réels du marché peuvent différer en raison de l'offre et de la demande, des coûts de transaction et des limites du modèle.

Valeur intrinsèque vs temporelle

Le prix d'une option se compose de la valeur intrinsèque plus la valeur temporelle :

• Valeur intrinsèque : La valeur d'exercice immédiate. Pour les calls : max(S-K, 0). Pour les puts : max(K-S, 0)
• Valeur temporelle : La prime au-dessus de la valeur intrinsèque, reflétant la possibilité d'un mouvement de prix favorable avant l'expiration

Moneyness (État de l'option)

• Dans la monnaie (ITM) : Call quand S > K ; Put quand K > S. L'option a une valeur intrinsèque
• À la monnaie (ATM) : Quand S = K environ. Valeur temporelle maximale
• Hors de la monnaie (OTM) : Call quand S < K ; Put quand K < S. Valeur intrinsèque nulle

Graphiques interactifs

Le calculateur génère trois visualisations interactives :

• Diagramme de payoff : Montre le profit/perte à l'expiration pour divers prix d'actions. Aide à visualiser le profil risque/récompense de chaque type d'option
• Sensibilité à la volatilité : Démontre comment les prix des options changent avec différents niveaux de volatilité. Illustre le concept de Vega
• Dépréciation temporelle : Montre comment les valeurs des options s'érodent à l'approche de l'expiration. Illustre le concept de Theta

Applications pratiques

Pour les traders

• Identifier les options mal évaluées en comparant les prix théoriques aux prix du marché
• Calculer les grecques pour comprendre et gérer l'exposition au risque
• Déterminer les points d'équilibre pour les transactions potentielles
• Évaluer l'impact des changements de volatilité sur les positions existantes

Pour les gestionnaires de risques

• Portefeuilles de couverture delta pour neutraliser l'exposition directionnelle
• Surveiller le risque gamma pendant les marchés volatils
• Suivre la dépréciation du theta pour les portefeuilles d'options
• Tester la résistance des positions contre les changements de volatilité à l'aide de vega

Pour les étudiants et les éducateurs

• Apprendre la relation entre les variables d'option et les prix
• Visualiser des concepts abstraits comme la dépréciation temporelle et la sensibilité à la volatilité
• Vérifier les calculs manuels pour les exercices académiques
• Explorer comment différents scénarios affectent les évaluations d'options

Limites du modèle Black-Scholes

Bien que Black-Scholes soit le fondement de l'évaluation moderne des options, il présente plusieurs limites connues :

Hypothèse de volatilité constante

La volatilité réelle du marché n'est pas constante. Elle change au fil du temps et varie selon les différents prix d'exercice (volatility smile/skew). C'est pourquoi la volatilité implicite diffère souvent selon les exercices et les expirations.

Exercice européen uniquement

Le modèle de base ne fonctionne que pour les options européennes. Les options américaines, qui peuvent être exercées par anticipation, nécessitent des modèles modifiés ou des méthodes numériques comme les arbres binomiaux.

Pas de risque de saut (Jump Risk)

Le modèle suppose des mouvements de prix fluides et continus. En réalité, les actions peuvent subir des écarts à la hausse ou à la baisse, en particulier lors d'annonces de résultats ou d'événements médiatiques majeurs.

Hypothèse de marchés parfaits

Les marchés réels ont des coûts de transaction, des spreads acheteur-vendeur et une liquidité limitée. Ces facteurs affectent les résultats réels des transactions mais ne sont pas capturés dans le modèle.

Foire aux questions

Qu'est-ce que le modèle Black-Scholes ?

Le modèle Black-Scholes est un modèle mathématique pour l'évaluation des contrats d'options de style européen. Développé par Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton en 1973, il calcule la juste valeur théorique des options sur la base de cinq variables clés : le prix actuel de l'action, le prix d'exercice, le temps jusqu'à l'expiration, le taux d'intérêt sans risque et la volatilité. Le modèle suppose que les marchés sont efficients, qu'il n'y a pas de coûts de transaction et que les prix des actions suivent une distribution log-normale.

Que sont les grecques d'option ?

Les grecques d'option sont des mesures de risque qui décrivent comment le prix d'une option change par rapport à divers facteurs. Delta mesure la sensibilité aux changements du prix de l'action. Gamma mesure le taux de variation du delta. Theta mesure la dépréciation temporelle. Vega mesure la sensibilité aux changements de volatilité. Rho mesure la sensibilité aux changements de taux d'intérêt. Les traders utilisent les grecques pour comprendre et couvrir leurs positions d'option.

Qu'est-ce que la volatilité implicite ?

La volatilité implicite est la prévision du marché concernant le mouvement probable du prix d'un actif. Elle est dérivée en travaillant à rebours à partir de la formule de Black-Scholes en utilisant le prix de marché actuel d'une option. Une volatilité implicite plus élevée indique un mouvement de prix attendu plus important et entraîne des primes d'option plus élevées. La volatilité implicite est une donnée clé pour l'évaluation des options et est souvent comparée à la volatilité historique pour identifier des opportunités de trading.

Quelle est la différence entre les options européennes et américaines ?

Les options européennes ne peuvent être exercées qu'à l'expiration, tandis que les options américaines peuvent être exercées à tout moment avant l'expiration. Le modèle Black-Scholes est spécifiquement conçu pour les options européennes. Pour les actions ne versant pas de dividendes, les options d'achat américaines ont la même valeur que les options européennes car l'exercice anticipé n'est jamais optimal.

Comment le rendement des dividendes affecte-t-il le prix des options ?

Le rendement des dividendes réduit les valeurs des options d'achat et augmente les valeurs des options de vente. C'est parce que les dividendes réduisent le prix attendu de l'action à l'expiration. Le modèle Black-Scholes avec rendement continu des dividendes ajuste cela en réduisant le taux de croissance effectif du prix de l'action.

Pourquoi les prix du marché peuvent-ils différer des prix de Black-Scholes ?

Les prix du marché peuvent différer des prix théoriques de Black-Scholes pour plusieurs raisons : la volatilité implicite peut différer de la volatilité que vous avez saisie, les hypothèses du modèle peuvent ne pas tenir sur les marchés réels, les déséquilibres entre l'offre et la demande peuvent affecter les prix, et les coûts de transaction et la liquidité affectent le trading réel.

Quelle volatilité dois-je utiliser ?

Vous pouvez utiliser soit la volatilité historique (calculée à partir des mouvements de prix passés), soit la volatilité implicite (dérivée des prix d'option actuels). La volatilité historique est tournée vers le passé tandis que la volatilité implicite reflète les attentes du marché. De nombreux traders utilisent l'indice VIX pour les options S&P 500 ou calculent la volatilité implicite à partir d'options à la monnaie liquides.

Quelle est la précision de ce calculateur ?

Ce calculateur implémente la formule standard de Black-Scholes avec une haute précision. Les calculs mathématiques correspondent à ceux utilisés dans les logiciels de trading professionnels. Cependant, n'oubliez pas que la précision du modèle dépend de la mesure dans laquelle les marchés réels répondent aux hypothèses du modèle.

Ressources supplémentaires

En savoir plus sur l'évaluation des options et le modèle Black-Scholes :

• Modèle Black-Scholes - Wikipédia
• Le modèle Black-Scholes expliqué - Investopedia (en anglais)
• Introduction aux options - CME Group (en anglais)

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