Calculadora de Posto de Matriz
Calcule o posto de qualquer matriz usando eliminação gaussiana (forma escalonada). Obtenha redução de linhas passo a passo, análise de pivôs, dimensões do espaço coluna e espaço nulo, e mapa de calor visual. Suporta matrizes de até 10×10.
Seu bloqueador de anúncios está impedindo a exibição de anúncios
O MiniWebtool é gratuito graças aos anúncios. Se esta ferramenta ajudou você, apoie-nos indo para o Premium (sem anúncios + ferramentas mais rápidas) ou coloque MiniWebtool.com na lista de permissões e recarregue a página.
- Ou faça upgrade para o Premium (sem anúncios)
- Permita anúncios para MiniWebtool.com e recarregue
Calculadora de Posto de Matriz
Bem-vindo à Calculadora de Posto de Matriz, uma ferramenta abrangente de álgebra linear que determina o posto de qualquer matriz usando a eliminação Gaussiana. O posto de uma matriz é o número máximo de vetores linha ou coluna linearmente independentes — um conceito fundamental que governa se sistemas de equações têm soluções, se transformações são invertíveis e como dados podem ser comprimidos. Esta calculadora fornece redução de linhas passo a passo, análise de pivôs, computação de espaço nulo, mapas de calor visuais e verificação via Teorema do Posto-Nulidade.
O que é o Posto da Matriz?
O posto de uma matriz A é definido como:
Equivalentemente, o posto é:
- O número de posições de pivô na forma escalonada por linhas de A
- A dimensão do espaço coluna (imagem) de A
- A dimensão do espaço linha de A
- O número de valores singulares não nulos de A
- O tamanho do maior menor não nulo (determinante de submatriz quadrada)
Para uma matriz m×n, o posto satisfaz \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\).
Como a Eliminação Gaussiana Determina o Posto
A eliminação Gaussiana (também chamada de redução de linha) transforma uma matriz na forma escalonada por linhas (REF) usando três operações elementares:
- Troca de linhas: Troca duas linhas entre si (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
- Escalonamento de linha: Multiplica uma linha por um escalar não nulo (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
- Adição de linha: Adiciona um múltiplo de uma linha a outra (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))
Na forma escalonada por linhas:
- Todas as linhas nulas ficam na parte inferior
- A entrada principal (pivô) de cada linha não nula está à direita do pivô acima dela
- O posto é igual ao número de linhas não nulas (pivôs) na REF
Esta calculadora utiliza o pivoteamento parcial — selecionando o maior valor absoluto em cada coluna como pivô — para uma melhor estabilidade numérica.
O Teorema do Posto-Nulidade
Onde n é o número de colunas de A. A nulidade é a dimensão do espaço nulo (núcleo) — o conjunto de todas as soluções para Ax = 0. Este teorema significa que as colunas são colunas de pivô (contribuindo para o posto) ou colunas livres (contribuindo para a nulidade), e cada coluna é uma ou outra.
Posto e Sistemas de Equações Lineares
O posto de uma matriz determina diretamente a solubilidade de um sistema linear Ax = b:
Casos Especiais e Propriedades
Posto Completo
Uma matriz tem posto completo quando posto(A) = min(m, n):
- Para matrizes quadradas n×n: posto completo significa invertível (det ≠ 0), espaço nulo trivial
- Para matrizes "altas" (m > n): posto de coluna completo significa injetiva (um para um)
- Para matrizes "largas" (m < n): posto de linha completo significa sobrejetiva (sobre)
Matrizes com Deficiência de Posto
Se posto(A) < min(m, n), a matriz tem deficiência de posto (singular para matrizes quadradas). Isso ocorre quando linhas ou colunas são linearmente dependentes — algumas linhas podem ser expressas como combinações de outras.
Identidades de Posto Principais
- posto(A) = posto(AT) — o posto da linha é igual ao posto da coluna
- posto(AB) ≤ min(posto(A), posto(B)) — limite do posto do produto
- posto(A + B) ≤ posto(A) + posto(B) — subaditividade
- posto(ATA) = posto(AAT) = posto(A)
O Posto de Matriz em Diferentes Áreas
| Área | Aplicação do Posto |
|---|---|
| Álgebra Linear | Resolução de sistemas, invertibilidade, mudança de base |
| Estatística | Detecção de multicolinearidade, análise de matriz de design |
| Teoria de Controle | Condições de posto para controlabilidade e observabilidade |
| Processamento de Sinais | Aproximação de baixo posto, filtragem de ruído |
| Aprendizado de Máquina | Seleção de recursos, PCA, fatoração de matrizes |
| Engenharia Estrutural | Determinância cinemática, graus de liberdade |
Perguntas Frequentes
O que é o posto de uma matriz?
O posto de uma matriz é o número máximo de vetores linha linearmente independentes (ou, equivalentemente, vetores coluna) na matriz. Ele indica a dimensão do espaço coluna (ou espaço linha). Para uma matriz m×n, o posto é no máximo min(m, n). Uma matriz com posto igual a min(m, n) é chamada de posto completo.
Como o posto da matriz é calculado usando a eliminação Gaussiana?
A eliminação Gaussiana transforma uma matriz em forma escalonada por linhas (REF) realizando operações elementares nas linhas: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar não nulo e adição de um múltiplo de uma linha a outra. O posto é igual ao número de linhas não nulas (equivalentemente, o número de posições de pivô) na REF. Este método é a abordagem algorítmica padrão ensinada em cursos de álgebra linear.
O que é o Teorema do Posto-Nulidade?
O Teorema do Posto-Nulidade afirma que para qualquer matriz A m×n, posto(A) + nulidade(A) = n, onde n é o número de colunas. A nulidade é a dimensão do espaço nulo (o conjunto de todos os vetores x tais que Ax = 0). Este teorema fundamental conecta as dimensões do espaço coluna e do espaço nulo.
Quando uma matriz tem posto completo?
Uma matriz tem posto completo quando seu posto é igual a min(m, n), o menor valor entre a contagem de linhas e colunas. Para uma matriz quadrada n×n, posto completo significa posto = n, o que implica que a matriz é invertível (não singular) com um determinante diferente de zero. Matrizes de posto completo têm espaços nulos triviais (apenas o vetor zero) e suas colunas são linearmente independentes.
Qual é a diferença entre posto de linha e posto de coluna?
Um teorema fundamental na álgebra linear prova que o posto da linha (dimensão do espaço linha) sempre é igual ao posto da coluna (dimensão do espaço coluna) para qualquer matriz. Esse valor comum é simplesmente chamado de posto da matriz. A eliminação Gaussiana revela o posto da linha diretamente ao contar as linhas de pivô, mas o mesmo número também fornece o posto da coluna.
Como o posto da matriz se relaciona com sistemas de equações lineares?
Para um sistema Ax = b, o posto determina a solubilidade: se posto(A) = posto([A|b]), o sistema é consistente (tem soluções). Se, adicionalmente, posto(A) = n (número de incógnitas), a solução é única. Se posto(A) < n, existem infinitas soluções parametrizadas por n - posto(A) variáveis livres. O teorema de Rouché-Capelli formaliza essas condições.
Recursos Adicionais
Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:
"Calculadora de Posto de Matriz" em https://MiniWebtool.com/br// de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 20 de fevereiro de 2026
Você também pode experimentar nosso Solucionador de Matemática AI GPT para resolver seus problemas de matemática através de perguntas e respostas em linguagem natural.