O que é a aproximação de Stirling para fatoriais?

A aproximação de Stirling estima grandes fatoriais: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Esta fórmula torna-se mais precisa à medida que n aumenta e é útil quando os valores fatoriais exatos são impraticáveis de computar. Para n = 10, ela resulta em 3.598.695 em comparação com o exato 3.628.800 - cerca de 99,2% de precisão.

Calculadora de Fatorial

Q: Como contar zeros à direita em um fatorial?

Os zeros à direita em n! vêm de fatores de 10, que requerem pares de 2 e 5. Como sempre há mais fatores de 2 do que de 5, conte os fatores de 5. A fórmula é: floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ... Por exemplo, 100! tem floor(100/5) + floor(100/25) + floor(100/125) = 20 + 4 + 0 = 24 zeros à direita.

Calcule o fatorial de qualquer número inteiro não negativo (n!) com expansão passo a passo, notação científica para números grandes, análise de contagem de dígitos e visualização do crescimento fatorial. Suporta valores até 1 milhão.

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Calculadora de Fatorial

A Calculadora de Fatorial calcula o fatorial de qualquer número inteiro não negativo n, escrito como n! (pronuncia-se "fatorial de n"). O fatorial é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 a n, e esta ferramenta suporta cálculos para valores de até um milhão, exibindo resultados tanto em forma completa quanto em notação científica.

O que é Fatorial?

O fatorial de um número inteiro não negativo n é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n. É denotado por n! e definido como:

Definição de Fatorial

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$$

Por convenção, 0! é definido como 1. Isso não é arbitrário - garante que muitas fórmulas matemáticas funcionem corretamente e mantém a relação recursiva n! = n × (n-1)!

Exemplos de Fatoriais

0! = 1 (por definição)
1! = 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800

Como usar esta calculadora

Insira seu número: Digite qualquer número inteiro não negativo de 0 a 1.000.000 no campo de entrada ou use os botões de seleção rápida para valores comuns.
Clique em Calcular: Pressione o botão "Calcular Fatorial" para computar n!.
Veja seu resultado: Veja o valor do fatorial, a fórmula de expansão, a contagem de dígitos e a análise de zeros à direita.
Revise passo a passo: Para valores pequenos (≤12), veja a divisão completa da multiplicação.

Compreendendo seus resultados

Resultado Completo: O valor fatorial completo (mostrado para n ≤ 9999)
Notação Científica: Para resultados grandes, exibidos como mantissa × 10^expoente
Contagem de Dígitos: Quantos dígitos existem no resultado do fatorial
Zeros à Direita: Com quantos zeros o resultado termina
Expansão: A fórmula de multiplicação n × (n-1) × ... × 1

Aplicações de Fatoriais

🎲 Permutações

Calcule o número de maneiras de organizar n objetos distintos. Por exemplo, 5 livros podem ser organizados em uma estante de 5! = 120 maneiras diferentes.

🎯 Combinações

Descubra de quantas maneiras escolher k itens de n itens usando a fórmula C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), fundamental na teoria da probabilidade.

📐 Teorema Binomial

Os fatoriais aparecem nos coeficientes binomiais usados para expandir expressões como (a+b)^n em álgebra e cálculo.

∑ Séries de Taylor

Muitas funções importantes são expressas como séries infinitas envolvendo fatoriais, como e^x = Σ(x^n/n!) e sin(x).

O Crescimento dos Fatoriais

Os fatoriais crescem a uma taxa superexponencial - mais rápido do que qualquer função exponencial. Esse crescimento rápido é o motivo pelo qual os fatoriais são importantes na teoria da complexidade e na análise de algoritmos.

n	n!	Dígitos	Zeros à Direita
5	120	3	1
10	3.628.800	7	2
20	2.432.902.008.176.640.000	19	4
50	≈ 3,04 × 10^64	65	12
100	≈ 9,33 × 10^157	158	24
1000	≈ 4,02 × 10^2567	2.568	249

Por que 0! = 1?

A definição 0! = 1 é uma convenção matemática que faz com que muitas fórmulas funcionem corretamente:

Recursão: A relação n! = n × (n-1)! implica 1! = 1 × 0!, então 0! deve ser igual a 1.
Análise Combinatória: Existe exatamente uma maneira de organizar zero objetos - não fazendo nada.
Função Gama: O fatorial generalizado Γ(1) = 0! = 1.
Produto Vazio: O produto de nenhum número é definido como 1 (a identidade multiplicativa).

Zeros à Direita em Fatoriais

O número de zeros à direita em n! é igual ao número de vezes que 10 divide n!. Como 10 = 2 × 5 e sempre há mais fatores de 2 do que 5, contamos os fatores de 5:

Fórmula de Zeros à Direita

$$\text{Zeros à direita} = \left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor + \ldots$$

Aproximação de Stirling

Para n grandes, calcular n! exatamente torna-se impraticável. A aproximação de Stirling fornece uma estimativa:

Aproximação de Stirling

$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

Esta aproximação torna-se cada vez mais precisa à medida que n aumenta e é útil para cálculos teóricos.

Perguntas Frequentes

O que é um fatorial?

Um fatorial, denotado como n!, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 a n. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1. Os fatoriais crescem extremamente rápido - 20! já possui 19 dígitos e 100! possui 158 dígitos.

Por que 0 fatorial é igual a 1?

0! = 1 por convenção matemática. Esta definição faz com que muitas fórmulas matemáticas funcionem corretamente, particularmente na análise combinatória, onde o número de formas de organizar zero objetos é uma. Também mantém a propriedade recursiva de que n! = n × (n-1)!.

Quão rápido os fatoriais crescem?

Os fatoriais crescem mais rápido do que as funções exponenciais. Enquanto 10! = 3.628.800, apenas 20! excede 2 quintilhões. 100! tem 158 dígitos e 1000! tem 2.568 dígitos. Este crescimento superexponencial é o motivo pelo qual os fatoriais aparecem na teoria da complexidade.

Para que os fatoriais são usados?

Os fatoriais são fundamentais na análise combinatória para contar permutações e combinações. Eles aparecem na teoria da probabilidade, no teorema binomial, em expansões de séries de Taylor e são essenciais em estatística, física e ciência da computação.

Como contar zeros à direita em um fatorial?

Os zeros à direita vêm de fatores de 10 (= 2 × 5). Conte os fatores de 5, pois sempre há mais fatores de 2. Use: floor(n/5) + floor(n/25) + floor(n/125) + ... Por exemplo, 100! tem 20 + 4 + 0 = 24 zeros à direita.

O que é a aproximação de Stirling?

A aproximação de Stirling estima grandes fatoriais: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n. Ela se torna mais precisa à medida que n aumenta e é útil quando valores exatos são impraticáveis de calcular.

Recursos Adicionais

Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:

"Calculadora de Fatorial" em https://MiniWebtool.com/br/calculadora-de-fatorial/ de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

pela equipe miniwebtool. Atualizado em: 18 de janeiro de 2026

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O que é Fatorial?

Exemplos de Fatoriais

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Compreendendo seus resultados

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🎲 Permutações

🎯 Combinações

📐 Teorema Binomial

∑ Séries de Taylor

O Crescimento dos Fatoriais

Por que 0! = 1?

Zeros à Direita em Fatoriais

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Perguntas Frequentes

O que é um fatorial?

Por que 0 fatorial é igual a 1?

Quão rápido os fatoriais crescem?

Para que os fatoriais são usados?

Como contar zeros à direita em um fatorial?

O que é a aproximação de Stirling?

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