高斯分布產生器

高斯分布產生器

高斯分布產生器用於產生符合常態（高斯）分布的隨機數，這種分布也稱為鐘形曲線。與給予所有數值相同機率的均勻隨機產生器不同，此工具產生的數值會聚集在中心平均值周圍，隨著數值遠離中心，出現的機率遞減。

什麼是高斯（常態）分布？

高斯分布以數學家卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名，是統計學和自然科學中最重要的機率分布之一。它描述了數值如何圍繞中心平均值分布，形成了特徵性的「鐘形曲線」形狀。

該分布由兩個參數定義：

• 平均值 (μ)： 分布的中心，也是峰值出現的地方。這是數值聚集的平均數。
• 標準差 (σ)： 衡量分布的分散或離散程度。較大的 σ 表示數值較為分散；較小的 σ 表示數值更緊密地聚集在平均值周圍。

68-95-99.7 法則（經驗法則）

常態分布最有用的特性之一是經驗法則，它指出：

• 68% 的數值落在平均值的 1 個標準差範圍內 (μ ± σ)
• 95% 的數值落在平均值的 2 個標準差範圍內 (μ ± 2σ)
• 99.7% 的數值落在平均值的 3 個標準差範圍內 (μ ± 3σ)

此法則可幫助您預測產生的數值有多少百分比會落在特定範圍內。

如何使用高斯分布產生器

1. 設定平均值 (μ)： 輸入分布的中心值。標準常態分布使用 0。IQ 分數使用 100。考試分數可以使用 75。
2. 設定標準差 (σ)： 輸入您希望數值的分散程度。標準常態分布使用 1。IQ 分數使用 15。較大的數值會產生較寬的分布。
3. 選擇數量： 選擇要產生多少個隨機數（1 到 10,000 個）。
4. 選擇小數位數： 選擇從 0（整數）到 6 位小數的精確度。
5. 選用種子 (Seed)： 輸入種子值以獲得可重現的結果。相同的種子 + 相同的參數 = 相同的數值。
6. 產生： 點擊按鈕產生隨機數並檢視視覺化結果。

了解統計數據

基本統計

• 樣本平均值： 所有產生數值的平均。樣本數大時應接近您輸入的平均值。
• 樣本標準差： 樣本的計算標準差。隨著樣本數增加，應接近您輸入的 σ。
• 中位數： 數值排序後的中間值。對於常態分布，這應該接近平均值。
• 最小值/最大值： 樣本中的最小和最大數值。

進階統計

• 偏態 (Skewness)： 衡量分布的不對稱性。數值接近 0 表示對稱。正偏態表示右尾較長；負偏態表示左尾較長。
• 峰態 (Kurtosis)： 衡量分布的「尾部厚度」。數值接近 0 表示常態尾部行為。正值表示尾部較厚；負值表示尾部較薄。
• 百分位數 (5th, 25th, 75th, 95th)： 表示有多少百分比的資料低於該數值。

常見應用

模擬與建模

高斯隨機數對於蒙地卡羅模擬、財務建模、風險分析以及需要模擬自然變異性的科學模擬至關重要。

機器學習與 AI

神經網路的權重通常使用高斯分布進行初始化。用於資料增強的雜訊注入也常使用常態分布。

統計檢定

產生樣本資料用於測試統計方法、假設檢定或展示中央極限定理概念。

自然現象建模

許多自然現象都遵循常態分布：人類身高、測量誤差、考試分數、血壓讀數等。

品質控制

模擬產品尺寸在已知公差範圍內圍繞目標值變動的製造過程。

常態分布範例

• 標準常態分布 (μ=0, σ=1)： 用於 Z 分數計算和統計表的參考分布。
• IQ 分數 (μ=100, σ=15)： 智商商數的設計遵循這些參數的常態分布。
• 人類身高： 美國成年男性的身高近似 N(μ=175cm, σ=7cm)。
• SAT 分數 (μ=1060, σ=217)： 大學入學考試分數近似常態分布。

用於重現結果的隨機種子

選用的隨機種子功能允許您產生可重現的隨機數序列。這對於以下情況很有價值：

• 科學研究： 確保實驗可以被精確複製。
• 除錯： 重現相同的隨機序列以除錯問題。
• 分享結果： 其他人可以使用您的種子產生相同的資料。
• 測試： 使用已知的隨機輸入建立一致的測試案例。

將種子欄位留空可獲得真正的隨機性，每次產生都會產生不同的結果。

常見問題

什麼是高斯（常態）分布？

高斯分布或常態分布是一種機率分布，它以平均值為中心對稱，顯示接近平均值的數據比遠離平均值的數據更頻繁出現。它形成了著名的「鐘形曲線」形狀。約 68% 的數值落在平均值的一個標準差內，95% 落在兩個標準差內，99.7% 落在三個標準差內。

平均值和標準差代表什麼？

平均值 (μ) 是分布的中心，即鐘形曲線的頂峰所在。標準差 (σ) 衡量數值的分散程度。較大的標準差表示分散程度較大（鐘形曲線較寬），而較小的標準差表示數值更緊密地聚集在平均值附近（鐘形曲線較窄）。

隨機數種子選項有什麼用途？

隨機數種子允許您產生可重現的結果。使用相同的種子和相同的參數將產生完全相同的隨機數序列。這對於科學實驗、除錯或需要在多次執行中獲得一致結果的情況非常有用。

如何使用高斯隨機數？

高斯隨機數用於模擬、統計建模、蒙地卡羅方法、機器學習、訊號處理和財務建模。它們可以模擬自然現象，如身高、考試分數、測量誤差和股價波動，這些通常都遵循常態分布。

統計學中的偏態和峰態是什麼？

偏態衡量分布的不對稱性。數值接近 0 表示對稱。正偏態表示右側尾部較長，負偏態表示左側尾部較長。峰態（超額峰度）衡量尾部相對於常態分布的厚度。數值接近 0 表示正常的尾部權重，正值表示尾部較厚，負值表示尾部較薄。

技術細節

此產生器使用 Python 的 random.gauss() 函式，該函式實作了 Box-Muller 轉換，將均勻分布的隨機數轉換為常態分布的隨機數。演算法如下：

1. 產生兩個在 (0, 1) 之間的獨立均勻隨機數 U1 和 U2
2. 應用 Box-Muller 轉換以獲得兩個獨立的標準常態數值
3. 進行縮放和平移以達到所需的平均值和標準差

相關資源

• 常態分布 - Wikipedia
• 68-95-99.7 法則 - Wikipedia
• Box-Muller 轉換 - Wikipedia