Voronoi 圖生成器
線上從一組種子點生成 Voronoi 圖。點擊畫布即可新增或拖曳點，在歐幾里得、曼哈頓、切比雪夫和閔可夫斯基距離度量之間進行切換，從精心挑選的調色盤中進行選擇，觀看細胞單元動畫定位，並將結果匯出為 SVG 或 PNG。包含 Lloyd 鬆弛法、黃金螺旋和六角形種子預設，以實現清晰、均勻的細胞單元。
歐幾里得（Euclidean）— 直線距離（經典） 分散隨機 · 18 個種子點 · 極光（藍綠 · 紫羅蘭 · 玫瑰）
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Voronoi 圖生成器
Voronoi 圖生成器根據與一組種子點的接近程度將二維平面劃分為多個區域。平面中的每個點都屬於最接近的種子，因此該圖看起來就像是輸入點周圍的細胞單元拼接。此工具可在您的瀏覽器中以互動方式生成 Voronoi 圖 — 點擊即可放置新種子、拖曳任何種子以即時重新繪製細胞、在四種距離度量之間切換，並應用 Lloyd 鬆弛來平均細胞大小。將結果匯出為清晰的 SVG 或可分享的 PNG。
運作原理：對於畫布上的每個位置，演算法會尋找最近的種子點，並用該種子的顏色繪製該位置。任何兩個細胞之間的邊界是這兩個種子之間線段的中垂線（垂直平分線） — 也就是說，與兩者完全等距離的位置集合。三個中垂線在每個細胞角落相交，這也是通過三個種子點的圓的圓心（空圓性質）。
四種距離度量 — 視覺化
每個 Voronoi 細胞的形狀取決於您使用的距離度量。每種度量定義了「圓」的樣子 — 而該圓的形狀正是與其鄰居碰觸以形成細胞邊界的形狀。
圓 = 圓形
圓 = 菱形
圓 = 正方形
圓 = 超橢圓
這就是為什麼曼哈頓度量的細胞只有水平、垂直和 45° 的邊緣，而切比雪夫細胞只有水平和垂直的邊緣 — 兩個細胞之間的邊界總是與這兩個「圓」的形狀相切。歐幾里得提供了每個人都會聯想到的經典平滑邊緣 Voronoi。閔可夫斯基 p=3 是計算設計中常用的一種數學上優雅的中間情況，其中 L1 的角落感覺太生硬，而 L2 的圓形感覺太圓。
是什麼讓此生成器與眾不同
Voronoi 圖的應用場景
- 基地台覆蓋地圖 — 手機連接到與其最近的基地台，這正是該基地台的 Voronoi 細胞。
- 約翰·斯諾（John Snow）1854 年的霍亂地圖 — 斯諾在蘇活區（Soho）的每個水泵周圍繪製了 Voronoi 細胞，並計算了每個細胞內的霍亂死亡人數，從而找出了受污染的寬街（Broad Street）水泵。
- 程序化紋理 — Worley 雜訊（細胞雜訊）被廣泛應用於從皮膚著色器到《當個創世神》（Minecraft）和《無人深空》（No Man's Sky）等遊戲的地形生成。
- 網格生成 — 有限元素求解器更偏好接近等邊的三角形，而 Delaunay 三角剖分（Voronoi 圖的對偶）最大化了所有三角形中的最小角。
- 機器人路徑規劃 — 障礙物點周圍的 Voronoi 圖邊緣是機器人可以採取的最安全路徑，因為它們最大化了與每個障礙物的距離。
- 點畫與半色調 — 經過 Lloyd 鬆弛的 Voronoi 圖能產生視覺上令人愉悅的點分佈，應用於藝術點畫和印表機抖動。
- 天文學 — 由於重力凝聚，星系超晶格和宇宙網呈現出類似 Voronoi 的結構；Voronoi 鑲嵌是星系密度估算中的標準工具。
- 晶體學 — 維格納－賽茲胞（Wigner–Seitz cells，晶格中原子周圍的 Voronoi 細胞）定義了固態物理學中每個單元的原胞體積。
數學細節
細胞定義 — 對於一組有限的種子點 \(\{p_1, p_2, \dots, p_n\}\) 以及任何度量 \(d(\cdot,\cdot)\)，\(p_i\) 的 Voronoi 細胞為
\[ V_i = \{ x \in \mathbb{R}^2 \mid d(x, p_i) \le d(x, p_j),\ \forall j \neq i \} \ ]
因此每個細胞都是半空間（對於歐幾里得度量）或半平面（對於 L1/L∞）的交集。這些細胞將平面劃分，至多除去一個測度為零的邊界集。
形心 Voronoi（Lloyd 固定點） — 在 CVT 中，每個種子都與其細胞的形心重合：
\[ p_i = \frac{1}{|V_i|} \int_{V_i} x\, dA \ ]
Lloyd 演算法的反覆運算過程：分類像素 → 將每個種子移動到其細胞的形心 → 重複。它總是會減少細胞內的平均二次矩，因此它會收斂。六角形晶格是環面均勻密度的全域最小值 — 這也是為什麼蜂巢結構如此高效的原因。
如何使用此工具
- 選擇預設或設定表單。 表單頂部的預設標籤是一鍵啟動的起點 — 經典細胞、蜂巢、城市街區、西洋棋國王、黃金螺旋、漣漪、Lloyd 鬆弛、線框、點畫墨水、3 個領地。
- 選擇距離度量。 歐幾里得適用於經典外觀，曼哈頓適用於方塊狀細胞，切比雪夫適用於與軸對齊的正方形，閔可夫斯基 p=3 適用於圓角正方形的中間細胞。
- 點擊生成。 圖表將透過動畫式的細胞生長效果進行渲染，以便您看到每個種子端如何「宣告」其領地。
- 在畫布上編輯。 點擊空白處可新增種子點。拖曳任何種子點以移動它 — 細胞會即時跟隨您的手指。雙擊種子可將其刪除。
- 使用 Lloyd 鬆弛進行最佳化。 點擊 Lloyd 鬆弛按鈕（或按 R）以將每個種子推向其細胞的形心。幾次反覆運算即可獲得視覺上均勻的鑲嵌。
- 在不遺失點集的情況下切換度量。 使用畫布上方的度量標籤 — 相同的種子，不同的距離規則，截然不同的細胞。
- 匯出。 SVG 用於向量用途，PNG 用於點陣圖分享，或直接複製 PNG 到剪貼簿。
獲得精美圖表的技巧
- 若要獲得視覺上均勻的細胞，請從隨機或均勻佈局開始，並應用 3-4 次 Lloyd 鬆弛。您將看到細胞向尺寸非常相似的六角形圖案收斂。
- 若要製作普普藝術海報，請使用帶有彩虹調色盤的叢集佈局並開啟細胞邊緣。這三個領地產生了帶有大膽色塊的醒目視覺層次結構。
- 若要獲得具有技術感的圖表，請在均勻佈局上使用線框風格 — 白色背景上乾淨的黑色線條讀起來就像 CAD 圖面。
- 若要獲得有機、手繪的圖案，請使用點畫風格 — 演算法將細胞邊緣讀取為點工作，並產生科學插圖中使用的鋼筆墨水效果。
- 為了數學上的清晰度，請切換到點數較少（8–12 個點）的曼哈頓或切比雪夫度量。直角邊緣使得用手追溯每個細胞為何具有其形狀變得容易。
常見問題
什麼是 Voronoi 圖？
Voronoi 圖根據每個位置最接近一組種子點中的哪一個，將平面劃分為多個細胞單元。每個細胞由最接近某一特定種子的所有位置組成。細胞邊界與兩個或多個種子等距離。
此生成器如何計算圖表？
它使用逐像素的暴力分類：對於畫布上的每個像素，它在所選距離度量下尋找最近的種子點，然後用該種子的顏色繪製該像素。計算成本為 O(W·H·N)，但它對退化輸入完全強健，且能簡單支援任何距離度量。
四種距離度量是什麼？
歐幾里得是直線距離，可提供經典的 Voronoi 外觀。曼哈頓是與軸對齊的城市街區距離。切比雪夫是西洋棋國王步法的距離。閔可夫斯基 p=3 是一種圓角正方形的中間度量。在同一個點集上切換度量會產生截然不同的細胞形狀。
什麼是 Lloyd 鬆弛？
Lloyd 演算法反覆將每個種子點移動到其當前 Voronoi 細胞的形心。經過幾次反覆運算後，細胞在視覺上變得均勻並趨向於六角形蜂巢結構 — 這種結構稱為形心 Voronoi 鑲嵌。
生成後我可以編輯這些點嗎？
可以。點擊畫布上的任何位置即可新增種子點。拖曳任何種子以移動它 — 圖表會連續重新繪製。雙擊種子可將其刪除。重設按鈕可還原原始的種子佈局。
Voronoi 和 Delaunay 之間有什麼區別？
它們是圖論對偶。Delaunay 三角剖分連接其 Voronoi 細胞共享一條邊緣的每對種子。同理，若且唯若沒有其他種子位於三角形的外接圓內時，三個種子形成一個 Delaunay 三角形。
我可以製作兩次相同的圖表嗎？
可以。在隨機種子欄位中輸入任何字串 — 相同的字串始終會重現相同的初始點集。將其與其他表單欄位結合，即可分享指向精確圖表的固定連結。
我可以用匯出的 SVG 或 PNG 做什麼？
免費供個人和商業用途使用 — 此工具生成的圖表沒有浮水印或授權限制。將它們用於簡報、網誌插圖、演講筆記、T 恤印刷、生成藝術提示，或作為在 Illustrator 或 Inkscape 中進一步工作的底圖。
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-05-20