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線性迴歸計算機

算出線性迴歸方程式、斜率、截距與 R²，並用來預測。散點圖與逐步公式會一併顯示。

免費使用無需註冊2026年1月更新
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線性迴歸計算機

歡迎使用 線性迴歸計算機，這是一個綜合統計工具，可計算最小平方迴歸線、相關係數、R 平方，並提供帶逐步公式分解的互動式散點圖視覺化。無論您是在進行研究資料分析、商業預測還是學術研究，此計算機都能提供專業級的統計分析。

什麼是線性迴歸?

線性迴歸是一種基本統計方法，用於通過將線性方程擬合到觀測資料來模型化依賴變數 (Y) 和一個獨立變數 (X) 之間的關係。該方法通過最小化平方殘差 (觀測值和預測值之間的差異) 的和來找到通過資料點的最佳適配直線。

迴歸方程

簡單線性迴歸模型
$$\hat{Y} = b_0 + b_1 X$$

其中：

如何計算線性迴歸

計算斜率 (b₁)

斜率公式
$$b_1 = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$

計算 Y 截距 (b₀)

截距公式
$$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$$

其中 x-bar 和 y-bar 分別是 X 和 Y 的平均值。

理解相關性和 R 平方

相關係數 (r)

相關係數測量 X 和 Y 之間線性關係的強度和方向。它的範圍從 -1 到 +1：

r 值解釋
0.9 到 1.0非常強的正相關
0.7 到 0.9強的正相關
0.5 到 0.7中等的正相關
0.3 到 0.5弱的正相關
-0.3 到 0.3幾乎沒有或沒有相關
-0.5 到 -0.3弱的負相關
-0.7 到 -0.5中等的負相關
-0.9 到 -0.7強的負相關
-1.0 到 -0.9非常強的負相關

R 平方 (決定係數)

R 平方 (R²) 表示 Y 中由 X 解釋的變異比例。例如，R² = 0.85 表示 Y 中 85% 的變異可以由與 X 的線性關係解釋。

R 平方公式
$$R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{residual}}{SS_{total}}$$

如何使用此計算機

  1. 輸入 X 值：在第一個文字框中輸入獨立變數資料，以逗號、空格或換行符分隔。
  2. 輸入 Y 值：在第二個文字框中輸入依賴變數資料。Y 值的數量必須與 X 值相匹配。
  3. 預測 (選擇性)：輸入 X 值，使用迴歸方程預測對應的 Y 值。
  4. 設定精度：選擇結果的小數位數。
  5. 計算：點擊計算按鈕以查看迴歸方程、散點圖、相關統計和逐步計算。

理解您的結果

主要結果

附加統計

線性迴歸的應用

商業和金融

科學和研究

經濟學

社會科學

線性迴歸的假設

為了獲得可靠的結果，線性迴歸假設：

  1. 線性性：X 和 Y 之間的關係是線性的
  2. 獨立性：觀測值彼此獨立
  3. 同變異數性：殘差在所有 X 值上有常數變異
  4. 常態性：殘差近似正態分佈
  5. 無多重共線性：(對於多元迴歸) 獨立變數之間不高度相關

常見問題

什麼是線性迴歸?

線性迴歸是一種統計方法，用於通過將線性方程擬合到觀測資料來模型化依賴變數 (Y) 和一個獨立變數 (X) 之間的關係。方程採用 Y = b₀ + b₁X 的形式，其中 b₀ 是 Y 截距，b₁ 是斜率。它找到最佳適配線，使觀測值和預測值之間的平方差和最小。

我如何解釋線性迴歸中的斜率?

斜率 (b₁) 代表獨立變數 X 每增加一個單位時，依賴變數 Y 的變化。正斜率表示當 X 增加時 Y 也增加，而負斜率表示當 X 增加時 Y 減少。

什麼是 R 平方，它表示什麼?

R 平方 (R²)，也稱為決定係數，測量迴歸線對資料的擬合程度。它的範圍從 0 到 1，其中 0 表示模型不能解釋任何變異性，1 表示解釋所有變異性。通常，R² 大於 0.7 表示適配好。

相關係數 (r) 和 R 平方之間有什麼區別?

相關係數 (r) 測量線性關係的強度和方向，範圍從 -1 到 +1。R 平方 (R²) 是 r²，代表解釋的變異比例。雖然 r 告訴您方向 (正或負)，但 R² 只告訴您解釋了多少變異。

線性迴歸需要多少資料點?

技術上，您需要至少 2 個資料點，但對於有意義的統計分析，您應該有至少 10-20 個資料點。更多資料點通常會導致更可靠的估計。

線性迴歸中的殘差是什麼?

殘差是觀測 Y 值和預測 Y 值之間的差異 (殘差 = 觀測 Y - 預測 Y)。分析殘差有助於評估模型適配。理想情況下，殘差應該隨機散佈在零周圍，沒有明確的模式。

其他資源

引用此內容、頁面或工具為：

"線性迴歸計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/線性迴歸計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊提供。更新時間：Jan 17, 2026

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