向量夾角計算機

向量夾角計算機

向量夾角計算機使用點積公式 \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) 來找出兩個 2D 或 3D 向量之間的角度。輸入您的向量分量，即可立即獲得度數和弧度的角度、完整的逐步解法、向量長度、點積、單位向量、投影、幾何解釋，以及帶有可切換圖層的互動式圖表。

點積角度公式

兩個向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之間的夾角 \(\theta\) 是由點積恆等式推導出來的：

$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

其中：

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\) 是點積
• \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2}\) 是向量 a 的長度 (Magnitude)
• \(\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\) 給出介於 0° 和 180° 之間的角度

理解點積的正負符號

實際應用

關鍵公式

如何使用向量夾角計算機

1. 輸入向量 a： 輸入以逗號分隔的分量。2D 使用 2 個分量（例如：3, 4），3D 使用 3 個分量（例如：1, 2, 3）。點擊任何快速範例即可自動填充兩個欄位。
2. 輸入向量 b： 輸入第二個向量的分量，維度需與向量 a 相同。
3. 觀察即時預覽： 圖表會隨著您的輸入即時更新，顯示兩個向量以及計算出的角度。
4. 點擊計算： 按下按鈕獲取完整結果，包括度數和弧度的角度、逐步解法、所有相關數值以及互動式圖表。
5. 探索圖表： 切換圖層（角度弧、投影、網格、標籤）以進行不同的視覺化。對於 3D 向量，可以拖曳旋轉視圖。

2D vs 3D 向量

點積角度公式在 2D 和 3D 中的運作方式完全相同 — 只有分量的數量不同。在 2D 中，向量具有分量 (x, y)，圖表顯示一個帶有清晰角度弧的平面笛卡爾座標系。在 3D 中，向量具有分量 (x, y, z)，圖表提供一個可旋轉的互動式等角視圖。數學原理是相同的：計算點積，除以長度的乘積，然後取反餘弦。

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