Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Xem thêm
Máy tính đạo hàm riêngMáy tính đạo hàm ẩnMáy tính Đạo hàmMáy Tính Gradient Đa BiếnMáy tính DivergenceMáy tính VectorMáy Tính Vecto Đơn Vị
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy tính đạo hàm theo hướng
 

Máy tính đạo hàm theo hướng

Tính đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến với lời giải từng bước, tính toán gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và minh họa bề mặt 3D tương tác.

Máy tính đạo hàm theo hướng

Thử các hàm ví dụ:

Paraboloid Sóng Sine Hàm mũ Logarit Đa thức Khoảng cách
Sử dụng ** cho số mũ, e cho số Euler, ln cho logarit tự nhiên
Hai biến cách nhau bởi dấu phẩy
Tọa độ cách nhau bởi dấu phẩy
Sẽ được chuẩn hóa thành vectơ đơn vị

Embed Máy tính đạo hàm theo hướng Widget

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm theo hướng

Chào mừng bạn đến với Máy tính đạo hàm theo hướng, một công cụ giải tích nhiều biến mạnh mẽ giúp tính toán tốc độ thay đổi của hàm số theo bất kỳ hướng nào đã chỉ định. Máy tính này cung cấp lời giải chi tiết từng bước, tính toán vectơ gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và trực quan hóa 3D tương tác để giúp bạn nắm vững đạo hàm theo hướng cho việc học tập, nghiên cứu hoặc ứng dụng chuyên môn.

Đạo hàm theo hướng là gì?

Một đạo hàm theo hướng đo lường tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến tại một điểm cụ thể khi bạn di chuyển theo một hướng nhất định. Không giống như đạo hàm riêng (chỉ đo sự thay đổi dọc theo các trục tọa độ), đạo hàm theo hướng cho phép bạn phân tích hành vi của hàm theo bất kỳ hướng nào bạn chọn.

∇ Vectơ Gradient

Gradient $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ chỉ theo hướng tăng nhanh nhất. Độ lớn của nó bằng tốc độ thay đổi cực đại.

→ Vectơ hướng đơn vị

Một vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ có độ lớn bằng 1. Chúng ta chuẩn hóa các vectơ hướng để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách.

• Tích vô hướng

Đạo hàm theo hướng bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Phép tính này chiếu gradient lên hướng đang xét.

Công thức đạo hàm theo hướng

Đạo hàm theo hướng
$$D_{\mathbf{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial f}{\partial x}\, u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}\, u_2$$

Trong đó:

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập hàm số của bạn: Nhập hàm $f(x, y)$ bằng ký hiệu toán học tiêu chuẩn. Sử dụng ** cho số mũ (ví dụ: x**2 cho $x^2$).
  2. Xác định các biến: Nhập tên các biến cách nhau bằng dấu phẩy (mặc định: x, y).
  3. Nhập điểm: Cung cấp tọa độ $(x_0, y_0)$ nơi bạn muốn tính đạo hàm, cách nhau bằng dấu phẩy.
  4. Nhập vectơ hướng: Nhập các thành phần của vectơ hướng $(a, b)$. Máy tính sẽ tự động chuẩn hóa nó thành vectơ đơn vị.
  5. Tính toán: Nhấp vào nút để xem đạo hàm theo hướng với lời giải chi tiết từng bước và hình ảnh trực quan 3D.

Cú pháp nhập hàm

Phép toánCú phápVí dụ
Số mũ**x**2 cho $x^2$
Phép nhân* hoặc ẩn2*x hoặc 2x
Lượng giácsin, cos, tansin(x*y)
Hàm mũe** hoặc exp()e**(x*y)
Logarit tự nhiênln() hoặc log()ln(x + y)
Căn bậc haisqrt()sqrt(x**2 + y**2)

Hiểu về đạo hàm theo hướng

Giải thích hình học

Hãy tưởng tượng bạn đang đứng trên một bề mặt được xác định bởi $z = f(x, y)$. Đạo hàm theo hướng cho bạn biết độ dốc của bề mặt tăng hay giảm bao nhiêu khi bạn đi theo một hướng cụ thể. Vectơ gradient chỉ về hướng leo dốc nhất (giống như đi ngược lại dòng nước chảy trên một sườn núi).

Các tính chất chính

Chuẩn hóa vectơ đơn vị

Cho một vectơ hướng $\mathbf{v} = (a, b)$, vectơ đơn vị tương ứng là:

Công thức vectơ đơn vị
$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)$$

Ứng dụng của đạo hàm theo hướng

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm theo hướng là gì?

Đạo hàm theo hướng đo tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến theo một hướng cụ thể. Đối với hàm $f(x,y)$ tại điểm $(x_0,y_0)$, đạo hàm theo hướng theo hướng của vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Nó cho biết hàm số tăng hoặc giảm nhanh như thế nào khi bạn di chuyển từ điểm đó theo hướng xác định.

Làm thế nào để tính đạo hàm theo hướng?

Để tính đạo hàm theo hướng: (1) Tính gradient $\nabla f$ bằng cách tìm các đạo hàm riêng theo từng biến, (2) Tính giá trị gradient tại điểm đã cho, (3) Chuẩn hóa vectơ hướng để có vectơ đơn vị $\mathbf{u}$, (4) Thực hiện tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị. Công thức là $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$.

Gradient của một hàm số là gì?

Gradient của một hàm vô hướng $f(x,y)$ là một vectơ chứa tất cả các đạo hàm riêng: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$. Nó chỉ theo hướng có tốc độ tăng tối đa của hàm số và độ lớn của nó bằng đạo hàm theo hướng cực đại tại điểm đó.

Tại sao chúng ta cần vectơ đơn vị cho đạo hàm theo hướng?

Chúng ta sử dụng vectơ đơn vị (độ lớn = 1) để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi. Nếu không chuẩn hóa, đạo hàm theo hướng sẽ phụ thuộc vào độ dài của vectơ chứ không chỉ là hướng của nó. Vectơ đơn vị đảm bảo chúng ta đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách di chuyển theo hướng đó.

Đạo hàm theo hướng dương hoặc âm có ý nghĩa gì?

Đạo hàm theo hướng dương có nghĩa là hàm số tăng khi bạn di chuyển theo hướng đó từ điểm đang xét. Giá trị âm có nghĩa là hàm số giảm. Đạo hàm theo hướng bằng không cho biết hàm số không tăng cũng không giảm theo hướng đó (hướng tiếp tuyến với đường mức).

Đạo hàm theo hướng đạt giá trị cực đại theo hướng nào?

Đạo hàm theo hướng đạt cực đại theo hướng của vectơ gradient $\nabla f$. Giá trị cực đại bằng độ lớn của gradient $\|\nabla f\|$. Ngược lại, đạo hàm theo hướng cực tiểu xảy ra theo hướng ngược lại $(-\nabla f)$ với giá trị $-\|\nabla f\|$.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính đạo hàm theo hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-đạo-hàm-theo-hướng/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 27 tháng 1, 2026

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải tích:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)Trình tạo bài tây ngẫu nhiênTra cứu ID người dùng FacebookCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ đếm hàng⏱️ Máy Tính GiờBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phân🖱️ Bộ Đếm ClickCông cụ chuyển đổi kg sang lbsTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính phân số tối giảnMáy tính thương và số dưMáy tính giảm giá phần trămTìm kiếm trích dẫn (Tiếng Anh)Trình Luyện Toán NhẩmTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ chuyển đổi chữ số La MãĐảo ngược văn bảnTrình Tạo Mã MorseĐây có phải là Số Nguyên Tố?Máy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămTrình tạo oẳn tù tìMáy tính thời gianThống kê Kênh YouTubeMáy tính thập phân sang phân sốBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữĐổ xúc xắcTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênXóa dấu cáchTrình nhân hóa văn bản AITrình phát hiện nội dung AISắp xếp sốMáy tính Kiểm tra Chia hếtBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmMáy Tính Số TuầnCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương Trình📅 Máy tính ngàyMáy tính nhị phân📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânMáy Tính Kích Thước TVMáy tính Cạnh huyềnMáy tính HEX🔍 Kiểm tra Đạo vănMáy tính căn bậc haiBộ lặp MP3📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnTrình trích xuất âm thanhTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuBộ chuyển đổi Hex sang RGBBộ chuyển đổi FPSSo sánh hai chuỗiMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo thẻ BingoBộ chọn bình luận YouTubeGhép Video⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiTạo Ô ChữMáy Giải Phương Trình Bậc BaTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênBộ chuyển đổi hex sang thập phânTrình Tạo Lệnh GitCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnMáy tính ĐiệnTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Công cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính định lý PythagoreBộ chuyển đổi HEXCông cụ chia ảnhDanh sách các số nguyên tốMáy Tính Vận TốcChuyển đổi Số thành Phân sốTrình chuyển đổi SRT sang TXTMáy tính Định luật Khí lý tưởngMáy tính Gia tốcBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânCông cụ xáo trộn chữ cáiMáy tính trung bình mẫuMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiTrình nén VideoTạo và giải SudokuBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexChữ Thường - Chữ HoaCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMMáy Tính Điểm Số⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực TuyếnTrình tạo tên ngẫu nhiênCân Bằng Phương Trình Hóa HọcMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Công cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Công cụ xóa ký tự vô hìnhMáy Tính Lực Xi Lanh Thủy LựcCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy Tính Mật ĐộTung đồng xuCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênMáy Tính LựcMáy tính độ ẩm bột nhàoTrình tạo mê cungBộ chuyển đổi RGB sang HexMáy tính BSAMáy tính giai thừa⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianChuyển đổi CSV sang JSONCông cụ chuyển đổi từ mẫu sang héc-taMáy Tính Tỷ Lệ Bánh MìMáy Tính Năng Lượng Thế NăngMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính Độ dốc và CấpTrình tạo số xổ sốCông cụ chuyển đổi thời gian phân sốMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính GFRXoay VideoĐiều chỉnh tốc độ videoBộ Chia Âm ThanhBộ chuyển đổi hệ cơ sốCông cụ ước tính thu nhập YouTubeCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSHẹn Giờ Học PomodoroMáy Chuyển Đổi Lumen Sang Watt💧 Máy Tính Điểm SươngMáy tính tanMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy Tính Giá Đơn VịMáy tính Pha Mặt TrăngMáy tính Ước số chung lớn nhấtLấy độ dài chuỗiMáy tính dinh dưỡng công thức nấu ănMáy Tính Tỷ Số Nén Động CơMáy tính ModuloTra Cứu Địa Chỉ MACLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính BMRMáy tính Định lý CosinBộ Chuyển Đổi Nhị PhânChuyển đổi Dặm sang KmCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânDanh sách Dãy số FibonacciLịch trăng non và trăng trònMáy tính Cầu thangTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênChọn tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy tính thâm hụt caloTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnChuyển đổi Thời gian SRTCông cụ chuyển đổi Radian sang ĐộDanh sách năm nhuậnMáy Tính Ký Hiệu Sigma (Tổng)Máy tính Vị trí Mặt trờiTrình tạo chữ cái ngẫu nhiênTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênTrình tạo từ ngẫu nhiên tiếng AnhBộ chọn số ngẫu nhiênBộ nén hình ảnhCông cụ Kiểm tra Tuổi Tên miềnCông cụ tính điểm trung bình GPAMáy tính RREF (Dạng Bậc Thang Rút Gọn)Máy tính tuổi sinh họcMáy tính Vận tốc GócMáy tính Thống kên chữ số đầu tiên của piĐố Vui Bảng Cửu ChươngTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTạo Trò Chơi Tìm TừChuyển đổi CMYK sang HEXChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânCông cụ chuyển đổi Mg sang MlCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy tính bột pizzaMáy tính giá trị PizzaMáy tính phần trăm lợi nhuậnTrình chuyển đổi HEX sang CMYKChuyển JPG sang PDFPDF sang JPGNén PDFTách PDFGộp PDFCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AIBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi ML sang ozBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetCông cụ chuyển đổi milimet sang inchBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính checkout phi tiêuMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATChuyển đổi Phần trăm sang CGPATrình chuyển đổi CGPA sang phần trămCông Cụ Chấm Điểm Dễ Dàng (EZ Grader)Máy tính Chi phí Nuôi conMáy Tính Lượng Sữa Cho BéMáy Tính Kích Cỡ TãTrình Tạo Tên Em BéCông Cụ Dự Đoán Màu Mắt Em BéMáy Tính Phân Vị BMI Cho Trẻ EmMáy Tính Thời Gian Tăng Gấp Đôi hCGMáy tính ngày dự sinh IVFMáy tính làm tổ của phôiCông cụ dự đoán giới tính kiểu Trung QuốcCông cụ định dạng ngày ISO 8601Trình Chuyển Đổi Ngày JulianNap CalculatorMáy tính hoàng hôn và bình minhWorld ClockBộ chuyển đổi Ngày sang Chữ số La MãĐếm Ngược Đến Khi Nghỉ HưuMáy Tính Cai NghiệnMáy Tính Nửa Sinh NhậtMáy Tính Ngày Kỷ NiệmMáy Tính Chia Tiền BoaMáy Tính ROI Email MarketingMáy tính Chi phí trên Mỗi Khách hàng Tiềm năngMáy Tính Vốn Lưu ĐộngTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên