Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Xem thêm
Máy tính đạo hàm riêngMáy tính đạo hàm ẩnMáy tính Đạo hàmMáy Tính Gradient Đa BiếnMáy tính DivergenceMáy tính VectorMáy Tính Vecto Đơn Vị
Trang chủ > Toán học > Giải tích > Máy tính đạo hàm theo hướng
 

Máy tính đạo hàm theo hướng

Tính đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến với lời giải từng bước, tính toán gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và minh họa bề mặt 3D tương tác.

Máy tính đạo hàm theo hướng

Thử các hàm ví dụ:

Paraboloid Sóng Sine Hàm mũ Logarit Đa thức Khoảng cách
Sử dụng ** cho số mũ, e cho số Euler, ln cho logarit tự nhiên
Hai biến cách nhau bởi dấu phẩy
Tọa độ cách nhau bởi dấu phẩy
Sẽ được chuẩn hóa thành vectơ đơn vị

Embed Máy tính đạo hàm theo hướng Widget

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm theo hướng

Chào mừng bạn đến với Máy tính đạo hàm theo hướng, một công cụ giải tích nhiều biến mạnh mẽ giúp tính toán tốc độ thay đổi của hàm số theo bất kỳ hướng nào đã chỉ định. Máy tính này cung cấp lời giải chi tiết từng bước, tính toán vectơ gradient, chuẩn hóa vectơ đơn vị và trực quan hóa 3D tương tác để giúp bạn nắm vững đạo hàm theo hướng cho việc học tập, nghiên cứu hoặc ứng dụng chuyên môn.

Đạo hàm theo hướng là gì?

Một đạo hàm theo hướng đo lường tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến tại một điểm cụ thể khi bạn di chuyển theo một hướng nhất định. Không giống như đạo hàm riêng (chỉ đo sự thay đổi dọc theo các trục tọa độ), đạo hàm theo hướng cho phép bạn phân tích hành vi của hàm theo bất kỳ hướng nào bạn chọn.

∇ Vectơ Gradient

Gradient $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ chỉ theo hướng tăng nhanh nhất. Độ lớn của nó bằng tốc độ thay đổi cực đại.

→ Vectơ hướng đơn vị

Một vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ có độ lớn bằng 1. Chúng ta chuẩn hóa các vectơ hướng để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách.

• Tích vô hướng

Đạo hàm theo hướng bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Phép tính này chiếu gradient lên hướng đang xét.

Công thức đạo hàm theo hướng

Đạo hàm theo hướng
$$D_{\mathbf{u}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial f}{\partial x}\, u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}\, u_2$$

Trong đó:

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập hàm số của bạn: Nhập hàm $f(x, y)$ bằng ký hiệu toán học tiêu chuẩn. Sử dụng ** cho số mũ (ví dụ: x**2 cho $x^2$).
  2. Xác định các biến: Nhập tên các biến cách nhau bằng dấu phẩy (mặc định: x, y).
  3. Nhập điểm: Cung cấp tọa độ $(x_0, y_0)$ nơi bạn muốn tính đạo hàm, cách nhau bằng dấu phẩy.
  4. Nhập vectơ hướng: Nhập các thành phần của vectơ hướng $(a, b)$. Máy tính sẽ tự động chuẩn hóa nó thành vectơ đơn vị.
  5. Tính toán: Nhấp vào nút để xem đạo hàm theo hướng với lời giải chi tiết từng bước và hình ảnh trực quan 3D.

Cú pháp nhập hàm

Phép toánCú phápVí dụ
Số mũ**x**2 cho $x^2$
Phép nhân* hoặc ẩn2*x hoặc 2x
Lượng giácsin, cos, tansin(x*y)
Hàm mũe** hoặc exp()e**(x*y)
Logarit tự nhiênln() hoặc log()ln(x + y)
Căn bậc haisqrt()sqrt(x**2 + y**2)

Hiểu về đạo hàm theo hướng

Giải thích hình học

Hãy tưởng tượng bạn đang đứng trên một bề mặt được xác định bởi $z = f(x, y)$. Đạo hàm theo hướng cho bạn biết độ dốc của bề mặt tăng hay giảm bao nhiêu khi bạn đi theo một hướng cụ thể. Vectơ gradient chỉ về hướng leo dốc nhất (giống như đi ngược lại dòng nước chảy trên một sườn núi).

Các tính chất chính

Chuẩn hóa vectơ đơn vị

Cho một vectơ hướng $\mathbf{v} = (a, b)$, vectơ đơn vị tương ứng là:

Công thức vectơ đơn vị
$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)$$

Ứng dụng của đạo hàm theo hướng

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm theo hướng là gì?

Đạo hàm theo hướng đo tốc độ thay đổi của một hàm nhiều biến theo một hướng cụ thể. Đối với hàm $f(x,y)$ tại điểm $(x_0,y_0)$, đạo hàm theo hướng theo hướng của vectơ đơn vị $\mathbf{u}$ bằng tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị: $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. Nó cho biết hàm số tăng hoặc giảm nhanh như thế nào khi bạn di chuyển từ điểm đó theo hướng xác định.

Làm thế nào để tính đạo hàm theo hướng?

Để tính đạo hàm theo hướng: (1) Tính gradient $\nabla f$ bằng cách tìm các đạo hàm riêng theo từng biến, (2) Tính giá trị gradient tại điểm đã cho, (3) Chuẩn hóa vectơ hướng để có vectơ đơn vị $\mathbf{u}$, (4) Thực hiện tích vô hướng của gradient và vectơ đơn vị. Công thức là $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u}$.

Gradient của một hàm số là gì?

Gradient của một hàm vô hướng $f(x,y)$ là một vectơ chứa tất cả các đạo hàm riêng: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$. Nó chỉ theo hướng có tốc độ tăng tối đa của hàm số và độ lớn của nó bằng đạo hàm theo hướng cực đại tại điểm đó.

Tại sao chúng ta cần vectơ đơn vị cho đạo hàm theo hướng?

Chúng ta sử dụng vectơ đơn vị (độ lớn = 1) để tiêu chuẩn hóa phép đo tốc độ thay đổi. Nếu không chuẩn hóa, đạo hàm theo hướng sẽ phụ thuộc vào độ dài của vectơ chứ không chỉ là hướng của nó. Vectơ đơn vị đảm bảo chúng ta đo tốc độ thay đổi trên mỗi đơn vị khoảng cách di chuyển theo hướng đó.

Đạo hàm theo hướng dương hoặc âm có ý nghĩa gì?

Đạo hàm theo hướng dương có nghĩa là hàm số tăng khi bạn di chuyển theo hướng đó từ điểm đang xét. Giá trị âm có nghĩa là hàm số giảm. Đạo hàm theo hướng bằng không cho biết hàm số không tăng cũng không giảm theo hướng đó (hướng tiếp tuyến với đường mức).

Đạo hàm theo hướng đạt giá trị cực đại theo hướng nào?

Đạo hàm theo hướng đạt cực đại theo hướng của vectơ gradient $\nabla f$. Giá trị cực đại bằng độ lớn của gradient $\|\nabla f\|$. Ngược lại, đạo hàm theo hướng cực tiểu xảy ra theo hướng ngược lại $(-\nabla f)$ với giá trị $-\|\nabla f\|$.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính đạo hàm theo hướng" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-đạo-hàm-theo-hướng/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 27 tháng 1, 2026

Có API dành cho developer: Chạy công cụ này từ ứng dụng, tự động hóa hoặc agent của bạn bằng một yêu cầu HTTP JSON. Xem tài liệu API

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Giải tích:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoTrình tạo bài tây ngẫu nhiênMáy Tính Số Mũ (Độ Chính Xác Cao)Tra cứu ID người dùng FacebookCông cụ Mã hóa CaesarTrình tạo oẳn tù tìSắp xếp sốMáy tính thương và số dưTra cứu ID người dùng InstagramBộ chuyển đổi hệ cơ số⏱️ Máy Tính GiờCông cụ đếm hàngCông cụ chuyển đổi chữ số La Mã🖱️ Bộ Đếm ClickMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênTrình Luyện Toán NhẩmXóa dấu cáchMáy tính phân số tối giảnTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi kg sang lbsCông cụ đổi Pound sang KilogramTrình nhân hóa văn bản AITrình Tạo Mã MorseMáy tính giảm giá phần trămĐảo ngược văn bảnCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânThống kê Kênh YouTubeĐổ xúc xắcMáy tính nhị phânCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhTìm kiếm trích dẫn (Tiếng Anh)Nén PDFMáy tính thời gianMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămMáy tính căn bậc haiMáy Tính Số TuầnMáy tính Cạnh huyềnMáy tính thập phân sang phân sốBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính Kiểm tra Chia hết📅 Máy tính ngàyĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình phát hiện nội dung AIGhép VideoBộ lặp MP3Chuyển đổi CSV sang JSONMáy tính HEXMáy tính So sánh Phân sốCông cụ xáo trộn chữ cái🔍 Kiểm tra Đạo vănTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình trích xuất âm thanh📷 OCR Chuyển Ảnh Thành Văn BảnTạo Ô ChữTrình tạo tên ngẫu nhiênBộ chuyển đổi FPSCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchTrình nén VideoTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo mê cungTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiên⏱️ Đồng Hồ Bấm Giờ Trực Tuyến⏰ Đồng Hồ Báo Thức Trực TuyếnBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexCon số may mắn của tôi là gì?Công cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMMáy tính tuổi sinh họcMáy tính Công thức Dây giàyTrình Tạo Công Thức Nấu Ăn AI Từ Nguyên LiệuTrình tạo thẻ BingoSo sánh hai chuỗiMáy Giải Phương Trình Bậc BaMáy tính ModuloMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phân⏱️ Bộ Đếm Ngược Thời GianLấy độ dài chuỗiCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânBộ chuyển đổi hex sang thập phânCông cụ chia ảnhCông cụ chuyển đổi psi sang kPaCông cụ loại bỏ dấu câu trực tuyếnMáy Tính Điểm SốSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ chuyển đổi HEXMáy tính GFRDanh sách Dãy số FibonacciMáy Tính Chu Vi Hình ElipĐiều chỉnh tốc độ videoMáy tính bước chân sang khoảng cáchBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânDanh sách các số nguyên tốGộp PDFTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnTung đồng xuTrình tạo tiêu đề và mô tả YouTube bằng AITrình tạo chữ cái ngẫu nhiênTạo và giải SudokuMáy tính hoàng hôn và bình minhXoay VideoChuyển đổi Nhị phân sang Bát phânChữ Thường - Chữ HoaMáy tính BSATách PDFTrình tạo ngày ngẫu nhiênTạo Trò Chơi Tìm TừCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy Tính Bitrate VideoBộ chuyển đổi ML sang ozCông cụ ước tính thu nhập YouTubeCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânBộ chuyển đổi Hex sang RGBCông Cụ Dự Đoán Chiều Cao Của TrẻMáy tính Natri hiệu chuẩnBảng mã ASCIIChuyển JPG sang PDF📈 Công Cụ Tạo Biểu Đồ ĐườngMáy tính trung bình mẫuChuyển đổi Số thành Phân sốCông cụ đếm từ PDFMáy tính Tuổi thọ Trung bìnhMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính thừa số nguyên tốBộ Chuyển Đổi Nhị PhânLịch trăng non và trăng trònMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo thời gian ngẫu nhiênCân Bằng Phương Trình Hóa HọcMáy tính Phân vị Chiều caoMáy tính NgủMáy Tính Chia Đa ThứcMáy tính thâm hụt caloĐố Vui Bảng Cửu ChươngTrình tính Z-ScoreTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênMáy tính TổngBộ chuyển đổi địa chỉ IP sang nhị phânCông cụ Xoay ẢnhMáy tính độ rộng đường mạch PCBTrình giải mã giấc mơ AICông cụ Giải Bản đồ Karnaugh (K-Map)Máy tính chuyển đổi hệ bát phân sang hệ thập lục phânMáy tính Định luật thứ ba của KeplerMáy tính Thứ tự Phép tính (PEMDAS)Máy tính hệ sốMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiTra Cứu Địa Chỉ MACBộ chọn bình luận YouTubeChọn tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi inch sang centimetCông cụ chuyển đổi phần trăm sang thập phânCông cụ vẽ đồ thị hàm sốMáy tính SinParaphraser AITrình tạo số xổ sốTạo mật khẩuCông cụ chuyển đổi hỗn số thành phân sốCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênMáy Tính Tiền TikTokMáy tính Vận tốc GócMáy tính Cầu thangMáy tính giai thừaMáy Tính Hoa HồngMáy Tính Tam Giác VuôngBộ chuyển đổi RGB sang HexDanh sách các số bình phươngDanh sách năm nhuậnMáy Tính Diện TíchMáy tính dinh dưỡng công thức nấu ănMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Số Đường đờiMáy tính thể tích và mật độ cá bểMáy tính trung bìnhSố ngẫu nhiênTrình tạo GIFWorld ClockBộ Chia Âm ThanhB? chuy?n ??i nh? ph?n sang m? GrayCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSHẹn Giờ Học PomodoroMáy tính Chiều dài Chỉ thêuMáy tính Decibel (dB)Máy Tính Lực Đấm Boxing⬛ Máy tính Tỉ lệ Khung hìnhMáy Tính Tỷ Số Nén Động Cơ🎲 Máy Tính Xác Suất Drop ĐồMáy tính BitwiseMáy tính biến đổi LaplaceMáy tính Thể tích Hình trụMáy tính phân sốn chữ số đầu tiên của piTrích xuất trang PDFTrình tạo Câu hỏi Ngẫu nhiênTrình tạo gamertagTrình tạo tên độiTrình tạo biệt danhTrình tạo tên rapTrình tạo tên ban nhạcTrình tạo tên FantasyTrình tạo bánh quy may mắnTrình tạo ý tưởng vẽTrình tạo gợi ý nhật kýTrình tạo câu khẳng định hàng ngàyTrình tạo lời khenTrình tạo câu thả thínhTrình tạo truyện cười của bốTrình tạo truyện cười ngẫu nhiênTrình tạo sự thật ngẫu nhiênTrình tạo câu hỏi triviaTrình tạo từ HangmanTrình tạo từ PictionaryTrình tạo trò chơi ô hành độngTrình tạo câu hỏi phá băngTrình tạo Tôi chưa bao giờTrình tạo Bạn chọn cái nàoTrình tạo lời cảm ơn AITrình tạo bài phát biểu đám cưới AITrình tạo thông cáo báo chí AITrình tạo mô tả sản phẩm AITrình tạo kịch bản video AITrình tạo chú thích Instagram AITrình tạo tiêu đề và tiểu sử LinkedIn AITrình tạo gạch đầu dòng CV AITrình tạo thư xin việc AITrình tạo lời bài hát rap AILàm phẳng PDFMở khóa PDF (Xóa mật khẩu chủ sở hữu)Trích xuất văn bản từ PDFBảo vệ PDFThêm số trang vào PDFSắp xếp lại trang PDFXóa trang PDFXoay PDFPDF sang JPGCông cụ chuyển đổi PT sang PXCông cụ chuyển đổi PX sang REMCông cụ chuyển đổi Tola sang GramCông cụ chuyển đổi đơn vị đất Ấn ĐộCông cụ chuyển đổi mcg sang mgTrình tạo lời bài hát AITrình tạo thơ AITrình tạo truyện AITrình dịch AICông cụ Tóm tắt Văn bản AICông cụ chuyển đổi Mg sang MlBộ chuyển đổi MPH sang KMH / KMH sang MPHCông cụ chuyển đổi hải lý trên giờ sang MPHMét khối sang feet khốiCông cụ chuyển đổi feet khối sang yard khốiCông cụ chuyển đổi feet vuông sang mét vuôngBộ chuyển đổi mét vuông sang feet vuôngBộ chuyển đổi Oz sang MLBộ chuyển đổi gallon sang lítCông cụ chuyển đổi lít sang gallonChuyển Đổi Kg Sang StoneMáy Chuyển Đổi Stone Sang KgCông cụ chuyển đổi inch sang milimetCông cụ chuyển đổi milimet sang inchChuyển đổi Dặm sang KmBộ chuyển đổi Km sang DặmBộ chuyển đổi Fahrenheit sang CelsiusMáy đổi Celsius sang FahrenheitCông cụ tính cỡ ba lôCông cụ tính thể tích ván lướt sóngCông cụ tính cỡ cán vợt tennisMáy tính kích thước mũ bảo hiểmCông cụ tính cỡ găng tayCông cụ chuyển đổi cỡ mũMáy tính kích thước ván trượt tuyếtCông cụ tính kích thước ván trượtCông cụ tính kích thước xe đạpBộ hẹn giờ Split SpeedrunMáy tính StablefordMáy tính checkout phi tiêuMáy tính Economy Bowling CricketMáy tính Strike Rate CricketMáy tính Net Run RateMáy Tính Tỷ Lệ K/DMáy Tính Xếp Hạng EloMáy tính phục hồi nhịp timMáy Tính Thời Gian Đi Bộ Đường DàiMáy tính Pace Chèo thuyềnMáy Tính Hiệu Suất Chạy Theo TuổiMáy tính FTP và Vùng Công suấtMáy Tính Beep TestMáy tính Điểm ACFTMáy tính Wilks & DOTSMáy tính Offset Bánh xeTra cứu Chỉ số Tải trọng & Xếp hạng Tốc độ LốpMáy tính Chi phí Mỗi DặmMáy Tính Mua Lại Hợp Đồng ThuêMáy Tính Pha Trộn OctanMáy Tính Pha Nhớt Xăng 2 ThìMáy Tính Dung Tích Động CơMáy Tính Ghế Sofa Qua CửaMáy Tính Dây CủiMáy Tính CADR Máy Lọc Không KhíMáy Tính Kích Thước Máy Hút ẨmMáy Tính Kích Thước Quạt TrầnMáy Tính Kích Thước Rèm CửaMáy Tính Kích Thước ThảmMáy tính chiều cao treo tranhMáy Tính Chiều Cao Lắp Đặt TVMáy Tính Kích Thước TVMáy Tính Thể Tích và Bạt Lót HồMáy Tính Muối Hồ BộiMáy Tính Thể Tích Hồ BơiMáy Tính Kích Thước Máy Nước NóngMáy Tính Nhựa EpoxyMáy Tính Khoảng Cách Con Tiện Lan CanMáy Tính Len Chân Tường và Nẹp Trang TríMáy Tính Ốp TườngMáy Tính Sơn Phủ Sàn GỗMáy Tính Hạt Giống CỏMáy Tính Cỏ NềnMáy Tính Nhựa ĐườngMáy Tính Yard KhốiMáy Tính Chiều Dài AntenMáy Tính Độ Lấp Đầy Ống Lót DâyMáy Tính Tụ Điện Nối Tiếp và Song SongMáy Tính Cảm KhángMáy Tính Chiếu Sáng PhòngMáy Tính Lux Sang LumenMáy Chuyển Đổi Lumen Sang WattMáy Tính Công Suất Máy Phát ĐiệnCông Cụ Chuyển Đổi mAh Sang WhMáy Tính Công Suất 3 PhaMáy Tính kVAMáy Tính Ampe Sang WattMáy Tính Watt Sang AmpeMáy Tính Điện Trở Nối TiếpMáy Tính Lực Ma SátMáy Tính Mặt Phẳng NghiêngMáy tính Lợi thế Cơ họcMáy tính Tốc độ Âm thanhMáy Tính Tốc Độ SóngMáy tính Lực nổiMáy tính Vận tốc Tới hạnMáy tính Bước sóng de BroglieMáy tính năng lượng photonMáy Tính E=mc²Máy Tính Giãn Nở Thời GianMáy tính Vận tốc ThoátMáy Tính Lực Hấp DẫnMáy tính Định luật Beer-LambertMáy Tính Phương Trình NernstMáy tính Áp suất Thẩm thấuMáy Tính Độ Tăng Điểm SôiMáy Tính Độ Giảm Điểm Đông BăngMáy Tính Thành Phần Phần TrămMáy Tính Nồng Độ Đương LượngMáy tính Nồng độ MolanBộ Chuyển Đổi pKa Sang KaMáy tính Henderson-HasselbalchMáy Tính Sản Lượng Lý ThuyếtMáy tính Chất phản ứng Giới hạnMáy tính Cấu hình ElectronBảng tuần hoàn tương tácTrình Tạo Giáo Án AITrình tạo Câu đố AITrình tạo trích dẫn (APA/MLA/Chicago)Máy Tính Phần Trăm Điểm DanhMáy Tính Điểm APMáy Tính Điểm ACTMáy Tính Điểm SATTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiên