เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว

หาค่าปริพันธ์ตามพื้นผิวของฟิลด์สเกลาร์ (∬f dS) และฟิลด์เวกเตอร์ / ปริพันธ์ฟลักซ์ (∬F·dS) บนพื้นผิวพารามิเตอร์ เลือกจากพื้นผิวสำเร็จรูป (ทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวย, พาราโบลา, ทอรัส) หรือใส่สมการพารามิเตอร์ด้วยตนเอง รับวิธีทำทีละขั้นตอนพร้อมการคำนวณเวกเตอร์แนวฉาก, องค์ประกอบพื้นที่ผิว และการสร้างภาพ 3D แบบโต้ตอบ

ตัวอย่าง:

ประเภทปริพันธ์

พื้นผิว

ฟิลด์สเกลาร์ f(x, y, z)

ใช้ x, y, z เป็นตัวแปร ตัวอย่าง: x^2+y^2+z^2, sin(x)*cos(y), 1 (สำหรับพื้นที่ผิว)

ขอบเขตพารามิเตอร์

u จาก

→

u ถึง

v จาก

→

v ถึง

Embed เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว

เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว ใช้สำหรับหาค่าปริพันธ์ผิวของฟิลด์สเกลาร์ \(\iint_S f \, dS\) และปริพันธ์ฟลักซ์ของฟิลด์เวกเตอร์ \(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) บนพื้นผิวพารามิเตอร์ในปริภูมิสามมิติ คุณสามารถเลือกพื้นผิวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เช่น ทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวย, พาราโบโลยด์ และครึ่งทรงกลม หรือป้อนพื้นผิวพารามิเตอร์ของคุณเองในรูป \(\mathbf{r}(u,v)\) เครื่องคำนวณจะหาเวกเตอร์แนวฉาก, ส่วนประกอบพื้นที่ผิว และประเมินค่าปริพันธ์พร้อมแสดงวิธีทำอย่างละเอียดและการจำลองภาพ 3D ที่สามารถหมุนได้โดยการลาก

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

⚡

แม่เหล็กไฟฟ้า

กฎของกวาส: ฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิด

🌊

พลศาสตร์ของไหล

อัตราการไหลของของไหลผ่านพื้นผิว

🌡

การถ่ายโอนความร้อน

ฟลักซ์ความร้อนรวมผ่านพื้นผิวขอบเขต

🏗

วิศวกรรมศาสตร์

การวิเคราะห์ความเค้นบนโครงสร้างเปลือกโค้ง

🌌

สนามโน้มถ่วง

ฟลักซ์ความโน้มถ่วงและการกระจายมวล

🎨

คอมพิวเตอร์กราฟิก

การเรนเดอร์พื้นผิวและแบบจำลองการส่องสว่าง

สูตรที่สำคัญ

ประเภทปริพันธ์	สูตร	คำอธิบาย
ปริพันธ์ผิวสเกลาร์	\(\iint_S f \, dS = \int_a^b \int_c^d f(\mathbf{r}(u,v)) \, \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\| \, dv \, du\)	หาปริพันธ์ของฟิลด์สเกลาร์บนพื้นผิว ถ่วงน้ำหนักด้วยส่วนประกอบพื้นที่ผิว
ปริพันธ์ฟลักซ์	\(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_a^b \int_c^d \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, dv \, du\)	วัดอัตราการไหลสุทธิของฟิลด์เวกเตอร์ผ่านพื้นผิว
เวกเตอร์แนวฉาก	\(\mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\)	ผลคูณไขว้ของอนุพันธ์ย่อย ซึ่งตั้งฉากกับพื้นผิว
พื้นที่ผิว	\(A = \iint_D \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\| \, du \, dv\)	พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวพารามิเตอร์
ทฤษฎีบทการลู่ออก	\(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV\)	ความสัมพันธ์ระหว่างฟลักซ์บนผิวกับปริพันธ์สามชั้นของการลู่ออก (สำหรับผิวปิด)

ความเข้าใจเกี่ยวกับปริพันธ์ผิว

ปริพันธ์ผิวเป็นการขยายแนวคิดตามธรรมชาติของปริพันธ์ตามเส้นจากเส้นโค้งมาเป็นพื้นผิว เช่นเดียวกับที่ปริพันธ์ตามเส้นรวมค่าฟังก์ชันไปตามเส้นโค้ง ปริพันธ์ผิวจะรวมค่าฟังก์ชันบนพื้นผิวในปริภูมิ 3 มิติ ส่วนประกอบสำคัญคือ ส่วนประกอบพื้นที่ผิว \(dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv\) ซึ่งทำหน้าที่ปรับแก้การยืดหรือหดของพื้นที่จากการใช้พารามิเตอร์ สำหรับปริพันธ์ฟลักซ์ ส่วนประกอบพื้นที่เวกเตอร์ \(d\mathbf{S} = (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, du \, dv\) จะรวมข้อมูลทิศทาง (เวกเตอร์แนวฉาก) เข้าไปด้วย ช่วยให้เราวัดได้ว่าฟิลด์เวกเตอร์ไหลผ่านพื้นผิวมากน้อยเพียงใด

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว

เลือกประเภทปริพันธ์: เลือก "สเกลาร์" สำหรับ \(\iint f \, dS\) หรือ "ฟลักซ์" สำหรับ \(\iint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) คุณยังสามารถคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อโหลดค่าล่วงหน้าที่สมบูรณ์ได้
เลือกพื้นผิว: คลิกพื้นผิวที่กำหนดไว้ (ทรงกลม, ทรงกระบอก, กรวย, พาราโบโลยด์, ครึ่งทรงกลม, ระนาบ) หรือเลือก "กำหนดเอง" เพื่อป้อนสมการพารามิเตอร์ของคุณเอง \(x(u,v)\), \(y(u,v)\), \(z(u,v)\)
ป้อนฟิลด์: สำหรับปริพันธ์สเกลาร์ ให้ป้อน f(x,y,z) สำหรับปริพันธ์ฟลักซ์ ให้ป้อนส่วนประกอบทั้งสามของ F ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน: x^2, sin(x), cos(y), e^z, sqrt(x) เป็นต้น
ปรับขอบเขต: ขอบเขตพารามิเตอร์จะถูกเติมให้อัตโนมัติสำหรับพื้นผิวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า คุณสามารถแก้ไขได้หากต้องการพื้นผิวเพียงบางส่วน (เช่น เฉพาะครึ่งทรงกลมบน)
ตรวจสอบผลลัพธ์: คลิก คำนวณ เพื่อดูค่าปริพันธ์, พื้นที่ผิว, เวกเตอร์แนวฉาก และการอนุพัทธ์วิธีทำทีละขั้นตอน ลากภาพจำลอง 3D เพื่อหมุน และเลือกเปิดปิดโครงลวด เวกเตอร์แนวฉาก และแกน

ปริพันธ์ผิวแบบสเกลาร์ เทียบกับ แบบฟลักซ์

ปริพันธ์ผิวสเกลาร์ \(\iint_S f \, dS\) จะหาปริพันธ์ของฟังก์ชันสเกลาร์บนพื้นผิว หากกำหนดให้ \(f = 1\) จะได้พื้นที่ผิว ตัวอย่างทางฟิสิกส์ ได้แก่ มวลรวมของเปลือกบางที่มีความหนาแน่น \(f\) หรือประจุรวมบนพื้นผิวที่มีประจุ ผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับการจัดวางทิศทาง (ทิศทางของเวกเตอร์แนวฉาก) ของพื้นผิว

ปริพันธ์ฟลักซ์ \(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) วัดการไหลสุทธิของฟิลด์เวกเตอร์ \(\mathbf{F}\) ผ่านพื้นผิว ค่านี้ขึ้นอยู่กับการจัดวางทิศทาง: การกลับทิศทางของแนวฉากจะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนไป ในทางฟิสิกส์ สิ่งนี้ใช้คำนวณฟลักซ์ไฟฟ้า (กฎของกวาส), ฟลักซ์แม่เหล็ก หรืออัตราการไหลของของไหล สำหรับพื้นผิวปิด ทฤษฎีบทการลู่ออกจะช่วยเชื่อมโยงปริพันธ์ฟลักซ์เข้ากับปริพันธ์สามชั้นของ \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) ที่คำนวณได้ง่ายกว่า

เวกเตอร์แนวฉากและการจัดวางทิศทางพื้นผิว

สำหรับพื้นผิวพารามิเตอร์ \(\mathbf{r}(u,v)\) เวกเตอร์แนวฉาก \(\mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\) จะตั้งฉากกับพื้นผิวในแต่ละจุด ขนาดของมัน \(|\mathbf{N}|\) จะให้ปัจจัยการขยายพื้นที่ในระดับท้องถิ่น และทิศทางของมันจะเป็นตัวกำหนดการจัดวางทิศทางของพื้นผิว (ด้านไหนคือ "ด้านนอก") สำหรับปริพันธ์ฟลักซ์ การเลือกทิศทางมีความสำคัญ เพราะมันกำหนดเครื่องหมายของผลลัพธ์ การสลับลำดับของผลคูณไขว้ (ใช้ \(\mathbf{r}_v \times \mathbf{r}_u\) แทน) จะเป็นการกลับทิศทางของแนวฉากและทำให้ค่าฟลักซ์ติดลบจากค่าเดิม

พื้นผิวพารามิเตอร์ที่พบบ่อย

ทรงกลม รัศมี R: \(\mathbf{r}(\varphi, \theta) = (R\sin\varphi\cos\theta, R\sin\varphi\sin\theta, R\cos\varphi)\) โดยที่ \(\varphi \in [0, \pi]\) และ \(\theta \in [0, 2\pi]\) พื้นที่ผิว = \(4\pi R^2\)

ทรงกระบอก รัศมี R สูง H: \(\mathbf{r}(\theta, z) = (R\cos\theta, R\sin\theta, z)\) โดยที่ \(\theta \in [0, 2\pi]\) และ \(z \in [0, H]\) พื้นที่ผิวข้าง = \(2\pi R H\)

พาราโบโลยด์: \(\mathbf{r}(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r^2)\) พื้นที่รูปถ้วยนี้มักพบในจานสายอากาศและตัวสะท้อนแสง

FAQ

ปริพันธ์ผิวคืออะไร?

ปริพันธ์ผิวเป็นการขยายแนวคิดปริพันธ์สองชั้นไปสู่พื้นผิวโค้งในปริภูมิ 3 มิติ สำหรับฟิลด์สเกลาร์ f ปริพันธ์ผิว ∬f dS จะคำนวณปริพันธ์ของ f ที่ถ่วงน้ำหนักด้วยส่วนประกอบพื้นที่ผิว สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ F ปริพันธ์ฟลักซ์ ∬F·dS จะวัดปริมาณของฟิลด์ที่ไหลผ่านพื้นผิว ทั้งสองแบบต้องใช้การอธิบายพื้นผิวในรูปพารามิเตอร์เพื่อคำนวณ

จะคำนวณปริพันธ์ผิวบนพื้นผิวพารามิเตอร์ได้อย่างไร?

กำหนดพื้นผิวพารามิเตอร์ r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) ขั้นแรกให้คำนวณอนุพันธ์ย่อย r_u และ r_v จากนั้นหาผลคูณไขว้ N = r_u × r_v สำหรับปริพันธ์สเกลาร์ ให้หาปริพันธ์ของ f(r(u,v)) × |N| บนโดเมนพารามิเตอร์ สำหรับปริพันธ์ฟลักซ์ ให้หาปริพันธ์ของ F(r(u,v)) · N บนโดเมนพารามิเตอร์ ทั้งคู่จะกลายเป็นปริพันธ์สองชั้นมาตรฐานในพารามิเตอร์ u และ v

ปริพันธ์ผิวและปริพันธ์ฟลักซ์ต่างกันอย่างไร?

ปริพันธ์ผิวสเกลาร์ ∬f dS จะหาปริพันธ์ของฟังก์ชันสเกลาร์บนพื้นผิว โดยถ่วงน้ำหนักด้วยส่วนประกอบพื้นที่ผิว |r_u × r_v| du dv ซึ่งไม่ขึ้นกับทิศทาง ส่วนปริพันธ์ฟลักซ์ ∬F·dS จะหาปริพันธ์ของส่วนประกอบแนวฉากของฟิลด์เวกเตอร์บนพื้นผิว โดยใช้ส่วนประกอบพื้นที่เวกเตอร์ (r_u × r_v) du dv ปริพันธ์ฟลักซ์จะขึ้นอยู่กับทิศทาง การกลับทิศทางของแนวฉากจะทำให้เครื่องหมายเปลี่ยน

เวกเตอร์แนวฉากของพื้นผิวพารามิเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์แนวฉากที่จุดบนพื้นผิวพารามิเตอร์ r(u,v) หาได้จากผลคูณไขว้ N = r_u × r_v โดยที่ r_u และ r_v คืออนุพันธ์ย่อยของเวกเตอร์ตำแหน่งเทียบกับพารามิเตอร์ เวกเตอร์นี้จะตั้งฉากกับระนาบสัมผัสที่จุดนั้น ขนาดของมันจะบอกการปรับขนาดพื้นที่ผิวในจุดนั้น และทิศทางของมันจะเป็นตัวกำหนดการจัดวางทิศทางของพื้นผิว

ทฤษฎีบทการลู่ออกเกี่ยวข้องกับปริพันธ์ผิวอย่างไร?

ทฤษฎีบทการลู่ออก (หรือทฤษฎีบทของกวาส) ระบุว่าสำหรับพื้นผิวปิด S ที่ล้อมรอบปริมาตร V ปริพันธ์ฟลักซ์ ∬F·dS จะเท่ากับปริพันธ์สามชั้น ∭(∇·F) dV บนปริมาตรที่ถูกล้อมรอบ ผลลัพธ์ที่ทรงพลังนี้มักจะช่วยให้การคำนวณปริพันธ์ฟลักซ์บนพื้นผิวปิด เช่น ทรงกลม ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการหาปริพันธ์สามชั้นของการลู่ออกแทน

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณปริพันธ์ผิว/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-08

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.