ブラック-ショールズ電卓

ブラック-ショールズ電卓

ブラック-ショールズ期権価格計算機へようこそ。これは、ノーベル賞を受賞したブラック-ショールズ・モデルを使用して、欧州型コール・オプションおよびプット・オプションの理論的な公正価値を計算するプロフェッショナル・グレードのツールです。この計算機は、オプション・トレーダー、金融アナリスト、およびデリバティブを学ぶ学生にとって不可欠な、完全なギリシャ指標（リスク指標）分析、インタラクティブな視覚化、および包括的なリスク・メトリクスを提供します。

ブラック-ショールズ・モデルとは？

ブラック-ショールズ・モデル（ブラック-ショールズ-マートン・モデルとしても知られる）は、欧州型オプション契約の価格設定のための数学的枠組みです。1973年にフィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・マートンによって開発されたこの画期的な研究により、ショールズとマートンは1997年にノーベル経済学賞を受賞しました（ブラックはその時までに他界していました）。

このモデルは、オプションの適正価格を計算するための、分析的に扱いやすい最初の手法を提供することで、金融市場に革命をもたらしました。ブラック-ショールズ以前は、オプションはしばしば直感や経験に基づいて価格設定されていました。このモデルの洗練された公式は、トレーダーや機関投資家にオプションを評価するための標準化された方法を提供し、世界中でのオプション市場の爆発的な成長につながりました。

ブラック-ショールズ・モデルの主な前提条件

• 欧州型オプション: オプションは満期時にのみ権利行使が可能であり、それ以前は不可
• 配当なし: オプションの期間中、対象となる株式は配当を支払わない（ただし、モデルは配当向けに修正可能）
• 効率的市場: 市場は完全に流動的であり、裁定機会は存在しない
• 取引コストなし: 株式やオプションの取引に手数料やコストはかからない
• 一定のボラティリティ: 株式のボラティリティはオプションの期間中一定である
• 一定の金利: 無リスク金利はオプションの期間中一定である
• 対数正規分布: 株価はドリフトを伴う幾何ブラウン運動に従う

ブラック-ショールズの公式

コール・オプション価格

プット・オプション価格

d1およびd2パラメータ

ここで:

• S = 現在の株価
• K = 権利行使価格
• T = 満期までの期間（年単位）
• r = 無リスク金利（年率）
• sigma = ボラティリティ（年率標準偏差）
• q = 連続配当利回り
• N(x) = 標準正規累積分布関数
• e = ネイピア数（約2.71828）

オプションのギリシャ指標（Greeks）を理解する

ギリシャ指標は、さまざまな要因に対してオプション価格がどのように変化するかを説明する不可欠なリスク指標です。プロのトレーダーはギリシャ指標を使用して、オプション・ポジションの理解、測定、およびヘッジを行います。

ギリシャ指標	測定対象	解釈
デルタ (Delta)	株価変動に対する価格感度	デルタが0.5の場合、株価が1ドル動くごとにオプション価格が0.50ドル変化することを意味します
ガンマ (Gamma)	デルタの変化率	株価が動くにつれてデルタがどれだけ速く変化するかを測定します。アット・ザ・マネーのオプションで最大になります
セータ (Theta)	1日あたりの時間的減価	時間の経過とともにオプションが毎日どれだけ価値を失うかを示します。ロング・オプションでは常にマイナスです
ベガ (Vega)	ボラティリティに対する感度	予測ボラティリティが1%変化したときにオプション価格がどれだけ変化するかを示します
ロー (Rho)	金利に対する感度	金利が1%変化したときにオプション価格がどれだけ変化するかを示します

デルタの詳細

デルタは、最も一般的に使用されるギリシャ指標です。コール・オプションの場合、デルタは0から1の範囲です。プット・オプションの場合、-1から0の範囲です。デルタは、オプションがイン・ザ・マネーで満期を迎えるおおよその確率としても解釈できます。アット・ザ・マネーのオプションのデルタは、通常、コールでは0.5、プットでは-0.5付近になります。

ガンマの詳細

ガンマは、オプション価値の凸性を測定します。コールとプットの両方で常にプラスです。ガンマが高いオプションは、株価の動きに合わせてデルタが急速に変化するため、価格変動に対してより敏感になります。ガンマは、満期に近いアット・ザ・マネーのオプションで最大になります。

セータの詳細

セータは、オプションの時間的価値の日常的な侵食を表します。他の条件がすべて同じであれば、オプションは時間の経過とともに価値を失います。この時間的減価は満期が近づくにつれて加速し、特にアット・ザ・マネーのオプションで顕著です。セータはオプション買い手の敵であり、売り手の味方です。

ベガの詳細

ベガは、予測ボラティリティの変化に対してオプション価格がどれだけ敏感であるかを測定します。ボラティリティが高くなると、大きな価格変動の確率が高まるため、オプション価格は上昇します。ベガは、満期までの期間が長いアット・ザ・マネーのオプションで最大になります。

ローの詳細

ローは金利感度を測定します。金利が高くなると、一般にコール・オプションの価値は上がり、プット・オプションの価値は下がります。ローは期間の長いオプションでより重要になりますが、通常、短期取引では最も重要度の低いギリシャ指標です。

この計算機の使い方

1. 現在の株価 (S) を入力する: 対象となる株式の現在の市場価格を入力します。これは、株式が現在取引されている価格です。
2. 権利行使価格 (K) を設定する: オプションの権利行使価格を入力します。これは、オプションを行使する際に株式を購入（コール）または売却（プット）できる価格です。
3. 満期までの期間 (T) を指定する: 満期までの残り期間を年単位で入力します。例えば、6ヶ月なら0.5、3ヶ月なら0.25、あるいは日数。
4. 無リスク金利 (r) を入力する: 現在の無リスク金利をパーセンテージで入力します。通常、満期と一致する国債の利回りを使用します。
5. ボラティリティ (sigma) を設定する: 年率ボラティリティをパーセンテージで入力します。歴史的ボラティリティ、または予測ボラティリティを使用できます。
6. 配当利回りを追加する（任意）: 株式が配当を支払う場合は、連続配当利回りを入力します。配当のない銘柄は0のままにします。
7. 計算して分析する: オプション価格、すべてのギリシャ指標、確率指標、およびインタラクティブなチャートを含む包括的な結果を表示します。

結果の理解

オプション価格

計算機には、コールおよびプット・オプションの理論価格が表示されます。これらはブラック-ショールズ・モデルによる公正価値を表しています。実際の市場価格は、需給、取引コスト、およびモデルの限界により異なる場合があります。

本源的価値 vs 時間的価値

オプション価格は、本源的価値と時間的価値で構成されます：

• 本源的価値: 即時行使価値。コールの場合: max(S-K, 0)。プットの場合: max(K-S, 0)
• 時間的価値: 本源的価値を超えるプレミアムであり、満期前に有利な価格変動が起こる可能性を反映しています

状態 (Moneyness)

• イン・ザ・マネー (ITM): コールは S > K、プットは K > S の場合。オプションには本源的価値があります
• アット・ザ・マネー (ATM): S = K の付近。時間的価値が最大になります
• アウト・オブ・ザ・マネー (OTM): コールは S < K、プットは K < S の場合。本源的価値はゼロです

インタラクティブ・チャート

この計算機は、3つのインタラクティブな視覚化を生成します：

• ペイオフ図: さまざまな株価における満期時の損益を示します。各オプション・タイプのリスク/リターン・プロファイルを視覚化するのに役立ちます
• ボラティリティ感度: ボラティリティ・レベルの変化によってオプション価格がどのように変わるかを示します。ベガの概念を説明します
• 時間的減価: 満期が近づくにつれてオプション価値がどのように減少するかを示します。セータの概念を説明します

実用的な応用

トレーダーにとって

• 理論価格と市場価格を比較して、価格設定が誤っているオプションを特定する
• ギリシャ指標を計算して、リスク・エクスポージャーを理解し管理する
• 潜在的な取引の損益分岐点を決定する
• ボラティリティの変化が既存のポジションに与える影響を評価する

リスク管理者にとって

• ポートフォリオをデルタ・ヘッジして、方向性のエクスポージャーを中立化する
• 市場のボラティリティが高い時期にガンマ・リスクを監視する
• オプション・ポートフォリオのセータ減価を追跡する
• ベガを使用して、ボラティリティの変化に対するポジションのストレス・テストを行う

学生や教育者にとって

• オプション変数と価格の関係を学ぶ
• 時間的減価やボラティリティ感度などの抽象的な概念を視覚化する
• 学術演習の手計算の結果を確認する
• さまざまなシナリオがオプション評価にどのように影響するかを探る

ブラック-ショールズ・モデルの限界

ブラック-ショールズは現代のオプション価格設定の基礎ですが、いくつかの既知の限界があります：

ボラティリティ一定の前提

実際の市場ボラティリティは一定ではありません。時間の経過とともに変化し、権利行使価格によっても異なります（ボラティリティ・スマイル/スキュー）。このため、インプライド・ボラティリティは権利行使価格や満期によって異なることがよくあります。

欧州型行使のみ

基本モデルは欧州型オプションにのみ機能します。早期行使が可能な米国型オプションには、修正モデルや二項ツリーなどの数値的手法が必要です。

ジャンプ・リスクなし

このモデルは、スムーズで連続的な価格変動を前提としています。現実には、特に決算発表や主要なニュース・イベントの際に、株価が急騰または急落（ギャップ）することがあります。

完全市場の前提

実際の市場には取引コスト、ビッド・アスク・スプレッド、および限定的な流動性があります。これらの要因は実際の取引結果に影響を与えますが、モデルには含まれていません。

よくある質問

ブラック-ショールズ・モデルとは何ですか？

ブラック-ショールズ・モデルは、欧州型オプション契約の価格を決定するための数学的モデルです。1973年にフィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・マートンによって開発され、株価、権利行使価格、満期までの期間、無リスク金利、ボラティリティという5つの主要な変数に基づいて公正価値を計算します。

オプションのギリシャ指標とは何ですか？

ギリシャ指標は、さまざまな要因に対してオプション価格がどのように変化するかを説明するリスク指標です。デルタ、ガンマ、セータ、ベガ、ローがあり、トレーダーはこれらを使用して、ポジションの理解とヘッジを行います。

予測（インプライド）ボラティリティとは何ですか？

予測ボラティリティは、資産価格の将来の動きに関する市場の予測です。現在のオプション価格から逆算して導き出され、取引機会の特定に使用されます。

欧州型オプションと米国型オプションの違いは何ですか？

欧州型は満期時にのみ行使可能ですが、米国型は満期前のいつでも行使可能です。ブラック-ショールズは主に欧州型向けですが、配当のない株式の米国型コールにも適用可能です。

配当利回りはオプション価格にどのように影響しますか？

配当利回りは、満期時の予想株価を低下させるため、コール価格を下げ、プット価格を上げます。

市場価格がブラック-ショールズ価格と異なるのはなぜですか？

インプライド・ボラティリティが入力値と異なる、モデルの前提が現実の市場と一致しない、需給の不均衡、取引コストや流動性の影響などが考えられます。

どのようなボラティリティを使用すべきですか？

過去の変動から計算される歴史的（ヒストリカル）ボラティリティ、または現在のオプション価格から導き出される予測（インプライド）ボラティリティを使用できます。

この計算機の精度はどの程度ですか？

この計算機は、プロの取引ソフトウェアで使用されているものと同じ高精度で標準のブラック-ショールズ式を実装しています。ただし、モデルの精度は市場が前提条件をどの程度満たしているかに依存することに注意してください。

追加リソース

オプション価格設定とブラック-ショールズ・モデルについての詳細：

• ブラック-ショールズ方程式 - Wikipedia
• Black-Scholes Model Explained - Investopedia (英語)
• Introduction to Options - CME Group (英語)