逆行列電卓

ガウス・ジョルダン消去法を使用して、正方行列の逆行列を詳細な行基本変形のステップとともに計算します。2×2から6×6の行列に対応し、正確な分数演算、行列式の計算、および A×A⁻¹=I の検証をサポートしています。

逆行列電卓

逆行列計算機は、掃き出し法（ガウス・ジョルダン消去法）を使用して、任意の正方行列の逆行列を算出し、すべての行操作のステップを逐次表示します。2×2、3×3、4×4、5×5、または6×6の行列を入力すると、丸め誤差のない分数演算で正確な逆行列を取得できます。このツールは行列式も計算し、A × A⁻¹ = I であることを確認して結果を検証します。

逆行列とは何ですか？

正方行列 $A$ の逆行列（$A^{-1}$ と表記）は、以下を満たす唯一の行列です：

$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$$

ここで $I$ は単位行列です。正則行列（行列式がゼロでない行列）のみが逆行列を持ちます。

⊞

正方行列

逆行列を持つことができるのは正方行列（n×n）のみです。長方形行列には両側逆行列は存在しません。

≠

行列式が非ゼロ

det(A) ≠ 0 は A が可逆（正則）であることを意味します。det(A) = 0 の場合、行列は特異であり、逆行列を持ちません。

↔

一意の逆行列

逆行列が存在する場合、それは唯一無二です。左逆行列と右逆行列は同じ行列になります。

積の性質

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。積の逆行列は、因子の順序を入れ替えた積になります。

掃き出し法を用いた逆行列の求め方

ステップ 1. +/− ボタンを使用して正方行列のサイズ（2×2から6×6）を選択するか、クイック例をクリックしてプリセット行列を読み込みます。

ステップ 2. グリッドに行列の値を入力します。整数、小数、または 1/3 や -5/2 のような分数を入力できます。Tab、Enter、または矢印キーを使用してセル間を移動します。対角セルは青色で強調表示されます。

ステップ 3. 「逆行列を計算」をクリックします。電卓は行列に単位行列を並べた拡大行列 [A|I] を作成し、掃き出し法を適用して [I|A⁻¹] へと変形させます。

ステップ 4. 正確な分数形式と小数形式の両方で逆行列を確認します。タブを使用して表示を切り替えることができます。ヒートマップの視覚化により、各要素の大きさと符号を一目で把握できます。

ステップ 5. 各行操作をクリックしてステップバイステップの解決策を確認するか、再生ボタンを押してアニメーション表示を見ます。検証セクションで A × A⁻¹ = I であることを確認できます。

2×2 行列の逆行列公式

2×2 行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は以下の通りです：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

この公式は $ad - bc \neq 0$ の場合にのみ機能します。より大きな行列の場合、掃き出し法（この電卓で使用されている方法）が標準的な手法となります。

逆行列の計算方法

手法	仕組み	用途
掃き出し法（ガウス・ジョルダン消去法）	[A\|I] を行簡約して [I\|A⁻¹] にする	汎用、すべてのサイズ
2×2 の公式	$\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$	素早い 2×2 の計算
余因子行列法	$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$	理論的、記号計算
LU分解	A = LU と分解し、LUX = I を解く	数値計算、巨大な行列

逆行列の性質

性質	公式
対合	$(A^{-1})^{-1} = A$
転置	$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
スカラー倍	$(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$
積	$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
行列式	$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

逆行列の応用

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連立一次方程式の解法

A が可逆のとき、Ax = b の解は x = A⁻¹b となります。

📊

統計と回帰分析

OLS 推定法: β = (X'X)⁻¹X'y ではモーメント行列の逆行列が必要です。

🔄

コンピュータグラフィックス

逆変換行列は、回転、平行移動、スケーリングを元に戻すために使用されます。

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暗号理論

ヒル暗号の復号には、暗号鍵行列の mod 26 における逆行列が使用されます。

よくある質問

逆行列とは何ですか？

正方行列 A の逆行列（A⁻¹ と表記）とは、A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I（I は単位行列）を満たす唯一の行列のことです。行列式がゼロでない正方行列（正則行列）のみが逆行列を持ちます。

掃き出し法で逆行列を求めるにはどうすればよいですか？

A の横に単位行列を並べて拡大行列 [A|I] を作成します。次に行操作を適用して左側を単位行列に変形します。すると、右側が自動的に A⁻¹ になります。これは、各行操作が基本行列を左から掛けることと同等だからです。

行列が逆行列を持たないのはどのような場合ですか？

行列式がゼロのとき、その行列は特異行列（非正則行列）であり、逆行列を持ちません。これは行または列が線形従属である場合、つまり1つの行が他の行の組み合わせで書ける場合に起こります。掃き出し法の過程では、ピボットがゼロになることで現れます。

行列式と逆行列の関係は何ですか？

行列が行列式がゼロでない場合に限り、逆行列を持ちます。2×2行列 [[a,b],[c,d]] の場合、逆行列は (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] です（det = ad - bc）。より大きな行列の場合、余因子行列を用いた公式 A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A) があります。

正方行列でない行列に逆行列はありますか？

正方行列でない行列には、真の両側逆行列は存在しません。ただし、左逆行列（列フルランクの場合）や右逆行列（行フルランクの場合）を持つことがあります。ムーア・ペンローズの擬似逆行列は、この概念をすべての行列に一般化したものです。

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"逆行列電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/逆行列計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

MiniWebtool チーム作成。最終更新: 2026-04-09

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