行列が対角化可能になるのはどのような時ですか？

行列が対角化可能であるための必要十分条件は、すべての固有値において幾何学的重複度が代数的重複度と等しいことです。言い換えれば、n次正方行列に対して n 個の線形独立な固有ベクトルが存在する必要があります。

行列対角化電卓

固有値、固有ベクトル、および分解 A = PDP⁻¹ を計算して、正方行列を対角化します。2×2から5×5の行列に対応しており、ステップごとの解説、特性多項式、重複度の分析、およびインタラクティブな視覚化を提供します。

行列対角化電卓

行列対角化計算機は、任意の正方行列を A = PDP⁻¹ の形式に分解します。ここで D は固有値を並べた対角行列、P は固有ベクトルを並べた行列です。2×2 から 5×5 の行列を入力すると、ステップバイステップの解決策、特性多項式、代数的および幾何学的重複度の分析、および分解のインタラクティブなアニメーションを含む完全な因数分解の結果が得られます。

行列の対角化とは？

行列の対角化とは、次のような行列 P と D を見つけるプロセスです：

$$A = PDP^{-1}$$

ここで、D は A の固有値を成分とする対角行列であり、P は対応する固有ベクトルを列とする可逆行列です。これは $D = P^{-1}AP$ と同等であり、D が A と相似であることを意味します。

固有値

Av = λv を満たすスカラー λ。D の対角線上に現れます。

→

固有ベクトル

Av = λv を満たす非ゼロベクトル v。P の各列を構成します。

◇

対角行列 D

対角線上に固有値を持ち、他はすべてゼロです。累乗の計算が容易になります。

↔

相似性

A と D は相似行列です。異なる基底において同じ線形変換を表します。

行列を対角化する方法

ステップ 1. 行列のサイズ（2×2 から 5×5）を選択し、グリッドに値を入力します。クイック例をクリックして、テスト用のプリセット行列を読み込むこともできます。

ステップ 2. 行列を対角化するをクリックします。この電卓は特性多項式 det(A − λI) を計算し、その根（固有値）を見つけます。

ステップ 3. 各固有値について、(A − λI)x = 0 を解いて固有ベクトルを見つけ、代数的重複度と幾何学的重複度を比較して行列が対角化可能かどうかを判断します。

ステップ 4. 対角化可能な場合、P（固有ベクトルを列としたもの）、D（対角線上の固有値）、および P⁻¹ を構築し、PDP⁻¹ = A であることを検証します。

ステップ 5. アニメーション化された分解表示で A が P × D × P⁻¹ に因数分解される様子を視覚化し、ナビゲーションコントロールを使用して完全な解決策をステップごとに確認します。

行列が対角化可能になるのはいつですか？

条件	対角化可能？	例
n 個の異なる実数固有値	常に「はい」	$\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ → λ = 2, 3
対称行列 (A = Aᵀ)	常に「はい」(実数 λ)	スペクトル定理により直交対角化が保証されます
AM = GM の重複固有値	はい	$\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}$ → λ = 5 (AM=2, GM=2)
AM > GM の重複固有値	いいえ	$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ → λ = 1 (AM=2, GM=1)
複素数固有値	ℂ 上で AM = GM か確認	$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ → λ = ±i

代数的重複度 vs 幾何学的重複度

各固有値 λ について：

• 代数的重複度 (AM): 固有値 λ が特性多項式 det(A − λI) = 0 の解として現れる回数。

• 幾何学的重複度 (GM): 固有空間 ker(A − λI) の次元。つまり、線形独立な固有ベクトルの数。

行列が対角化可能であるための必要十分条件は、すべての固有値について GM = AM となることです。常に 1 ≤ GM ≤ AM という関係が成り立ちます。

対角化が重要な理由

⚡

行列の累乗

$A^k = PD^kP^{-1}$。D は対角行列なので、$D^k$ は各固有値を k 乗するだけで計算できます。

📈

微分方程式

微分方程式系 x' = Ax は、A を対角化することで x' = PDP⁻¹x となり、独立した方程式に分離できます。

🔗

マルコフ連鎖

推移確率行列の長期的な挙動は固有値によって決まります。対角化によって定常状態が明らかになります。

📊

PCA

主成分分析は共分散行列を対角化して、最大分散の方向を見つけます。

対角化と他の分解の比較

分解方法	形式	要件
固有値分解（このツール）	A = PDP⁻¹	n 個の独立な固有ベクトル
スペクトル分解（対称）	A = QΛQᵀ	A = Aᵀ (Q は直交行列)
ジョルダン標準形	A = PJP⁻¹	任意の正方行列
SVD (特異値分解)	A = UΣVᵀ	任意の行列（長方形でも可）
LU 分解	A = LU	特定の条件を満たす正方行列

よくある質問

行列を対角化するとはどういう意味ですか？

行列 A を対角化するとは、可逆行列 P と対角行列 D を見つけて A = PDP⁻¹ とすることを指します。D の対角成分は固有値であり、P の列は対応する固有ベクトルです。

行列が対角化可能になるのはいつですか？

行列が対角化可能であるのは、すべての固有値において幾何学的重複度が代数的重複度と等しい場合のみです。言い換えれば、n×n 行列に対して n 個の線形独立な固有ベクトルが存在する必要があります。すべての対称実行列および n 個の異なる固有値を持つすべての行列は対角化可能です。

代数的重複度と幾何学的重複度の違いは何ですか？

代数的重複度は、固有値が特性多項式の根として何回現れるかを示します。幾何学的重複度は固有空間の次元、すなわちその固有値に対応する線形独立な固有ベクトルの数です。行列が対角化可能であるのは、すべての固有値においてこれら 2 つの数値が一致する場合です。

複素数の固有値を持つ行列も対角化できますか？

はい、複素数固有値を持つ行列も、各固有値に対して幾何学的重複度が代数的重複度と等しい限り、複素数の範囲で対角化できます。得られる行列 P と D には複素数成分が含まれます。

行列の対角化はどのような用途に使われますか？

行列の対角化は、行列の累乗 (A^k = PD^kP⁻¹) の効率的な計算、微分方程式系の解法、マルコフ連鎖と定常状態の分析、統計学における主成分分析、物理学や工学における線形変換の理解などに使用されます。

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"行列対角化電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/行列対角化計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

MiniWebtool チーム作成。最終更新: 2026-04-12

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