2x2行列の固有多項式を求めるにはどうすればよいですか？

要素が a, b, c, d の 2x2 行列の場合、固有多項式は λ² - (a+d)λ + (ad - bc) です。これは λ² - (トレース)λ + (行列式) に等しくなります。

固有多項式計算機

正方行列の固有多項式 det(A − λI) を計算します。2×2から6×6の行列に対応し、余因子展開によるステップバイステップの解説、固有値の抽出、係数分析、およびインタラクティブな多項式可視化機能を備えています。

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固有多項式計算機

この固有多項式計算機は、2×2から6×6までの正方行列の固有多項式 $p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ を計算します。行列の値を入力すると、即座に展開形式と因数分解形式の両方で多項式が表示され、重複度付きの固有値、係数分析テーブル、インタラクティブな多項式グラフ、および MathJax でレンダリングされた数式による完全なステップバイステップの解決策が得られます。

固有多項式とは何ですか？

$n \times n$ 行列 $A$ の固有多項式は次のように定義されます。

$$p(\lambda) = \det(\lambda I - A)$$

これは $\lambda$ に関する $n$ 次多項式であり、その根はまさに $A$ の固有値です。固有多項式には行列の基本的な不変量が含まれています。そのトレースは $\lambda^{n-1}$ の係数のマイナス倍に等しく、その行列式は定数項（符号を除く）に等しくなります。ケーリー・ハミルトンの定理により、すべての正方行列はその固有多項式 $p(A) = 0$ を満たします。

重要な概念

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固有値

p(λ) = 0 の根。これらは det(A − λI) = 0 となる λ の値です。

∑

トレース = Σλᵢ

対角要素の和は、すべての固有値の和に等しくなります。

∏

行列式 = ∏λᵢ

行列式は、すべての固有値の積に等しくなります。

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ケーリー・ハミルトン

すべての行列は自身の固有方程式 p(A) = 0 を満たします。

サイズ別の固有多項式の公式

サイズ	固有多項式 p(λ)	主な特性
2×2	$\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)$	常に2次式。2つの根（実数または共役複素数の対）
3×3	$\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{2×2小行列式の和})\lambda - \det(A)$	少なくとも1つの実数根が保証される
n×n	$\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots$	$s_k$ = すべての k×k 主小行列式の和

固有多項式の応用

分野	応用	固有多項式の役割
微分方程式	線形常微分方程式系の解法	p(λ) から得られる固有値が解のモード（成長、減衰、振動）を決定します
制御理論	システムの安定性分析	固有多項式の根が、システムの安定または不安定なモードを示します
量子力学	システムのエネルギー準位	ハミルトニアン行列の固有値が測定可能なエネルギー状態となります
グラフ理論	スペクトルグラフ分析	隣接行列の固有多項式がグラフの構造を符号化します
振動解析	固有振動数	固有値が機械システムの共振周波数を与えます
データサイエンス	PCA（主成分分析）/ 次元削減	最大の固有値が共分散行列の主成分を特定します

固有多項式計算機の使い方

行列のサイズを選択: +/− ボタンを使用して 2×2 から 6×6 の行列を選択します。または、クイック例をクリックしてプリセット行列を読み込みます。
行列の値を入力: 行列グリッドに数値を入力します。Tab キーまたは矢印キーを使用してセル間を移動します。向きを確認しやすいように、対角セルは青色でハイライトされています。
計算をクリック: 電卓が行列 (A - λI) を作成し、行列式を記号的に計算して固有多項式を生成し、それを因数分解して固有値を求めます。
結果を確認: 展開形式と因数分解形式で固有多項式を確認します。固有値カードで根と重複度をチェックします。インタラクティブなグラフは、p(λ) がゼロを横切る場所を示します。
ステップバイステップで探索: ステップナビゲーターまたは自動ボタンを使用して、A - λI の形成からトレースと行列式による最終的な検証まで、完全な導出過程を確認します。

よくある質問

固有多項式とは何ですか？

正方行列 A の固有多項式とは、p(λ) = det(λI − A) で定義される n 次多項式であり、その根は A の固有値です。固有値、トレース、行列式など、行列に関する不可欠な情報が含まれています。固有多項式は線形代数において最も基本的な対象の一つです。

2×2 行列の固有多項式を求めるにはどうすればよいですか？

2×2 行列 [[a, b], [c, d]] の場合、固有多項式は λ² − (a+d)λ + (ad − bc) です。これは λ² − tr(A)λ + det(A) と簡略化できます。ここで tr(A) = a+d はトレース、det(A) = ad − bc は行列式です。2つの根が固有値となります。

固有多項式と固有値の関係は何ですか？

行列の固有値は、その固有多項式の根に他なりません。λ₀ が p(λ) = det(λI − A) = 0 の根であれば、λ₀ は固有値です。固有値の代数的重複度は、p(λ) の根としての重複度です。例えば p(λ) = (λ − 3)²(λ − 1) であれば、λ = 3 の代数的重複度は 2、λ = 1 の代数的重複度は 1 となります。

固有多項式は複素数の根を持つことがありますか？

はい。実行列であっても、固有多項式が複素数の根（固有値）を持つことがあります。実行列の複素固有値は常に共役な対で現れます。つまり a + bi が固有値であれば、a − bi も固有値です。例えば回転行列 [[0, −1], [1, 0]] の固有多項式は λ² + 1 であり、その根は ±i です。

固有多項式の係数は何を教えてくれますか？

係数は重要な行列の不変量を表します。最高次の係数は常に 1 です（モニック多項式）。λ^(n−1) の係数は −tr(A)（トレースのマイナス倍）に等しくなります。定数項は (−1)ⁿ det(A) に等しくなります。より一般的には、λ^(n−k) の係数は A のすべての k×k 主小行列式の和の (−1)^k 倍です。これらは固有値の基本対称多項式と呼ばれます。

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"固有多項式計算機"（https://MiniWebtool.com/ja/固有多項式計算機/）、MiniWebtool、https://MiniWebtool.com/

MiniWebtool チーム作成。最終更新日: 2026-04-13

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分数と除算

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サイズ	固有多項式 p(λ)	主な特性
2×2	\(\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)\)	常に2次式。2つの根（実数または共役複素数の対）
3×3	\(\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\text{2×2小行列式の和})\lambda - \det(A)\)	少なくとも1つの実数根が保証される
n×n	\(\det(\lambda I - A) = \lambda^n - s_1\lambda^{n-1} + s_2\lambda^{n-2} - \ldots\)	\(s_k\) = すべての k×k 主小行列式の和