Calculateur de projection vectorielle

Bienvenue sur le Calculateur de projection vectorielle, un outil puissant d'algèbre linéaire qui calcule la projection d'un vecteur sur un autre avec une décomposition de formule étape par étape, une visualisation géométrique interactive et une décomposition orthogonale. Que vous étudiiez l'algèbre linéaire, travailliez sur des problèmes de physique ou analysiez des données en apprentissage automatique (machine learning), ce calculateur rend les projections vectorielles intuitives et faciles à comprendre.

Qu'est-ce que la projection vectorielle ?

La projection vectorielle est une opération fondamentale en algèbre linéaire qui permet de déterminer quelle partie d'un vecteur s'exerce dans la direction d'un autre. Étant donné des vecteurs a et b, la projection de a sur b produit un nouveau vecteur qui repose le long de b et représente "l'ombre" de a projetée sur la ligne définie par b.

Il existe deux concepts liés :

• Projection scalaire (composante) : Un nombre unique représentant la longueur signée de la projection le long de b.
• Projection vectorielle : Un vecteur qui repose le long de b avec une magnitude égale à la projection scalaire.

Formule de la projection vectorielle

Formule de la projection scalaire

Décomposition orthogonale

Tout vecteur a peut être décomposé en deux composantes perpendiculaires par rapport à b :

Où \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) est la composante de a perpendiculaire à b (également appelée rejet vectoriel).

Comment utiliser ce calculateur

1. Choisir la dimension : Sélectionnez des vecteurs 2D ou 3D à l'aide des boutons de commutation.
2. Saisir les vecteurs : Entrez les composantes du vecteur a (le vecteur à projeter) et du vecteur b (la direction de projection).
3. Calculer : Cliquez sur "Calculer la projection" pour voir les résultats complets, y compris la projection vectorielle, la projection scalaire, la composante orthogonale, l'angle entre les vecteurs et la solution étape par étape.
4. Explorer la visualisation : Examinez le diagramme interactif montrant tous les vecteurs et la relation géométrique entre eux.

Comprendre vos résultats

• Projection vectorielle : Le vecteur de projection qui repose le long de b.
• Projection scalaire : La longueur signée de la projection (positive si l'angle < 90°, négative si l'angle > 90°).
• Composante orthogonale : La partie de a perpendiculaire à b.
• Angle entre les vecteurs : L'angle θ en degrés et en radians.
• Scalaire de projection (a·b/b·b) : Le multiplicateur appliqué à b pour obtenir le vecteur de projection.

Applications de la projection vectorielle

Cas particuliers

• Vecteurs parallèles (θ = 0°) : La projection de a sur b est égale à a lui-même (mis à l'échelle par le rapport de magnitude).
• Vecteurs anti-parallèles (θ = 180°) : La projection pointe dans la direction opposée à b.
• Vecteurs perpendiculaires (θ = 90°) : La projection est le vecteur nul — a n'a aucune composante le long de b.
• Projection scalaire = 0 : Les vecteurs sont orthogonaux.
• Projection scalaire négative : L'angle entre les vecteurs dépasse 90°.

Foire aux questions

Qu'est-ce qu'une projection vectorielle ?

Une projection vectorielle de a sur b est la composante de a qui se trouve dans la direction de b. Elle est calculée comme proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. Le résultat est un vecteur qui pointe dans la même direction (ou la direction opposée) que b, représentant la part de a qui suit b.

Quelle est la différence entre la projection scalaire et la projection vectorielle ?

La projection scalaire donne un nombre unique représentant la longueur signée de la projection le long de b, calculée comme comp_b(a) = a·b / |b|. La projection vectorielle donne un résultat vectoriel qui possède à la fois une magnitude et une direction, calculée comme proj_b(a) = (a·b / b·b) × b. La projection scalaire est la magnitude (avec signe) de la projection vectorielle.

Qu'est-ce que la composante orthogonale (rejet vectoriel) ?

La composante orthogonale (également appelée rejet vectoriel) est la partie du vecteur a qui est perpendiculaire au vecteur b. Elle est calculée comme a_⊥ = a − proj_b(a). Ensemble, la projection et le rejet décomposent a en deux composantes perpendiculaires dont la somme est égale au vecteur d'origine.

La projection scalaire peut-elle être négative ?

Oui. Une projection scalaire négative signifie que l'angle entre les deux vecteurs est supérieur à 90°, donc le vecteur a a une composante pointant dans la direction opposée à b. La valeur absolue de la projection scalaire représente toujours la longueur de l'ombre projetée.

Pourquoi la projection vectorielle est-elle importante en apprentissage automatique ?

La projection vectorielle est fondamentale pour des techniques comme l'Analyse en Composantes Principales (ACP), qui projette des données de haute dimension sur les directions de variance maximale. Elle est également utilisée en régression (projection de vecteurs de réponse sur des espaces de caractéristiques), dans les systèmes de recommandation et la réduction de dimensionnalité, ce qui en fait l'une des opérations les plus utilisées en science des données.

Ressources additionnelles

• Projection vectorielle - Wikipédia
• Produit scalaire - Wikipédia