Calculateur de Gram-Schmidt

Bienvenue sur le Calculateur de Gram-Schmidt, un outil complet d'algèbre linéaire qui orthonormalise un ensemble de vecteurs linéairement indépendants à l'aide du procédé classique de Gram-Schmidt. Obtenez des projections détaillées étape par étape, les bases orthogonales et orthonormales, une visualisation interactive des vecteurs et la vérification de l'orthogonalité. Idéal pour les étudiants, les enseignants, les ingénieurs et tous ceux qui travaillent avec des espaces vectoriels.

Qu'est-ce que le procédé de Gram-Schmidt ?

Le procédé de Gram-Schmidt (nommé d'après Jørgen Pedersen Gram et Erhard Schmidt) est une méthode d'orthonormalisation d'un ensemble de vecteurs dans un espace muni d'un produit scalaire. À partir d'un ensemble de vecteurs linéairement indépendants \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\), le procédé produit un ensemble orthonormal \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) qui engendre le même sous-espace.

L'algorithme

Le procédé de Gram-Schmidt fonctionne en deux phases pour chaque vecteur :

1. Orthogonalisation : Soustraire les projections sur tous les vecteurs orthogonaux précédemment calculés
2. Normalisation : Diviser par la norme pour obtenir un vecteur unitaire

Où \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle\) désigne le produit scalaire et \(\|\mathbf{u}\| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\) est la norme euclidienne.

Comment utiliser ce calculateur

1. Entrez vos vecteurs : Saisissez des vecteurs linéairement indépendants, un par ligne. Utilisez des parenthèses, des crochets ou simplement des valeurs séparées par des virgules. Tous les vecteurs doivent avoir la même dimension (2 à 10).
2. Réglez la précision décimale : Choisissez le nombre de décimales (2-10) à afficher dans les résultats.
3. Cliquez sur Orthonormaliser : Le calculateur exécute l'intégralité du procédé de Gram-Schmidt et affiche les résultats complets.
4. Examinez les résultats : Consultez la base orthonormale, la visualisation interactive, les projections étape par étape et la vérification de l'orthogonalité.

Comprendre les résultats

Base orthogonale (\(\mathbf{u}_k\))

Les vecteurs orthogonaux intermédiaires avant normalisation. Ces vecteurs sont mutuellement perpendiculaires mais peuvent avoir des magnitudes différentes. La base orthogonale préserve la structure entière/rationnelle des vecteurs originaux, ce qui est parfois préféré dans les travaux théoriques.

Base orthonormale (\(\mathbf{e}_k\))

Le résultat final — des vecteurs qui sont à la fois mutuellement perpendiculaires (orthogonaux) et de longueur unitaire (normaux). C'est la sortie standard du procédé de Gram-Schmidt et la forme la plus couramment utilisée.

Tableau de vérification

Le calculateur vérifie l'orthonormalité en calculant tous les produits scalaires par paires (qui devraient être de 0 pour des paires distinctes) et toutes les normes (qui devraient être de 1). Cela sert de preuve mathématique de la réussite du processus.

Lien avec la décomposition QR

Le procédé de Gram-Schmidt est la méthode classique pour calculer la décomposition QR d'une matrice. Si vous disposez les vecteurs d'entrée comme colonnes d'une matrice \(A\) et les vecteurs orthonormaux comme colonnes d'une matrice \(Q\), alors :

Où \(Q\) est une matrice orthogonale (ses colonnes sont les vecteurs orthonormaux) et \(R\) est triangulaire supérieure (ses éléments sont les coefficients de projection). La décomposition QR est fondamentale en algèbre linéaire numérique pour résoudre des problèmes de moindres carrés, calculer des valeurs propres et effectuer des factorisations de matrices.

Applications

Gram-Schmidt classique vs modifié

Ce calculateur implémente l'algorithme de Gram-Schmidt classique (CGS). Pour les calculs numériques avec l'arithmétique en virgule flottante, l'algorithme de Gram-Schmidt modifié (MGS) offre une meilleure stabilité numérique en recalculant les projections par rapport à l'ensemble partiellement orthogonalisé plutôt qu'aux vecteurs d'origine. Cependant, en arithmétique exacte (ou calcul de haute précision), les deux algorithmes produisent des résultats identiques.

Foire aux questions

Qu'est-ce que le procédé de Gram-Schmidt ?

Le procédé de Gram-Schmidt est un algorithme permettant d'orthonormaliser un ensemble de vecteurs dans un espace muni d'un produit scalaire. Il prend un ensemble de vecteurs linéairement indépendants et produit un ensemble orthonormal qui engendre le même sous-espace. Chaque vecteur est rendu orthogonal à tous les vecteurs précédents en soustrayant ses projections, puis normalisé à une longueur unitaire.

Pourquoi le procédé de Gram-Schmidt est-il important ?

Le procédé de Gram-Schmidt est fondamental en algèbre linéaire et possède de nombreuses applications : décomposition QR de matrices, résolution de problèmes de moindres carrés, construction de bases orthonormales pour des espaces de fonctions, traitement du signal, informatique graphique et méthodes numériques. Les bases orthonormales simplifient de nombreux calculs car les vecteurs de base sont perpendiculaires et ont une longueur unitaire.

Quelle est la différence entre des vecteurs orthogonaux et orthonormaux ?

Des vecteurs orthogonaux sont perpendiculaires entre eux (leur produit scalaire est nul), mais ils peuvent avoir n'importe quelle magnitude. Des vecteurs orthonormaux sont à la fois orthogonaux ET ont une longueur unitaire (magnitude = 1). Le procédé de Gram-Schmidt rend d'abord les vecteurs orthogonaux, puis les normalise pour produire un ensemble orthonormal.

Que se passe-t-il si les vecteurs d'entrée sont linéairement dépendants ?

Si les vecteurs d'entrée sont linéairement dépendants, le procédé de Gram-Schmidt produira un vecteur nul à une certaine étape (lorsqu'un vecteur se trouve dans l'espace engendré par les vecteurs précédents). Ce calculateur détecte la dépendance linéaire et signale une erreur. Pour utiliser ce calculateur, tous les vecteurs d'entrée doivent être linéairement indépendants.

Quel est le lien entre Gram-Schmidt et la décomposition QR ?

La décomposition QR factorise une matrice A en Q (matrice orthogonale) et R (matrice triangulaire supérieure). Le procédé de Gram-Schmidt appliqué aux colonnes de A produit les colonnes de Q, tandis que les coefficients de projection forment les éléments de R. Cette connexion fait de Gram-Schmidt la méthode classique pour calculer la factorisation QR.

Ressources supplémentaires

• Procédé de Gram-Schmidt - Wikipédia
• Décomposition QR - Wikipédia
• Orthonormalité - Wikipédia