Interaktiver Einheitskreis-Visualisierer

Interaktiver Einheitskreis-Visualisierer

Willkommen bei unserem Interaktiven Einheitskreis-Visualisierer, einem Lernwerkzeug, das Ihnen hilft, die grundlegenden Zusammenhänge zwischen Winkeln und trigonometrischen Funktionen zu verstehen. Diese dynamische Visualisierung zeigt, wie sin, cos, tan und ihre reziproken Funktionen mit Punkten auf dem Einheitskreis verknüpft sind.

Was ist der Einheitskreis?

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung (0, 0) des Koordinatensystems liegt. Er bildet die Grundlage der Trigonometrie und liefert eine geometrische Interpretation der trigonometrischen Funktionen.

• Radius: Immer gleich 1
• Zentrum: Im Ursprung (0, 0)
• Gleichung: $$x^2 + y^2 = 1$$

Trigonometrische Funktionen auf dem Einheitskreis

Für jeden Winkel $\theta$, gemessen von der positiven x-Achse, hat ein Punkt P auf dem Einheitskreis die Koordinaten:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

Die sechs trigonometrischen Funktionen

• Sinus (sin): $$\sin\theta = y$$
• Kosinus (cos): $$\cos\theta = x$$
• Tangens (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• Kosekans (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ (nicht definiert, wenn $\sin\theta = 0$)
• Sekans (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ (nicht definiert, wenn $\cos\theta = 0$)
• Kotangens (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

Wichtige Winkel und ihre Werte

Auf dem Einheitskreis gibt es mehrere wichtige Winkel, die Sie sich merken sollten. Diese „besonderen Winkel“ treten bei Vielfachen von 30° und 45° auf:

Grad	Radiant	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	Nicht definiert
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	Nicht definiert

Die vier Quadranten

Die Koordinatenebene ist in vier Quadranten unterteilt, und die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen unterscheiden sich in jedem Quadranten:

• Erster Quadrant (0–90): Alle Funktionen sind positiv (A)
• Zweiter Quadrant (90–180): Nur sin und csc sind positiv (S)
• Dritter Quadrant (180–270): Nur tan und cot sind positiv (T)
• Vierter Quadrant (270–360): Nur cos und sec sind positiv (C)

Merksatz: ASTC – „All Students Take Calculus“ (auf Englisch)

So verwenden Sie dieses Tool

1. Geben Sie einen Winkelwert in das Eingabefeld ein.
2. Wählen Sie, ob der Winkel in Grad oder Radiant angegeben ist.
3. Klicken Sie auf „Berechnen“, um die Visualisierung und alle trigonometrischen Werte zu sehen.
4. Verwenden Sie die Schnellwahl-Links für gängige Winkel.

Die Visualisierung verstehen

Das interaktive Diagramm zeigt:

• Blauer Kreis: Den Einheitskreis mit Radius 1
• Roter Punkt: Den Punkt auf dem Kreis, der Ihrem Winkel entspricht
• Grüne Linie: Stellt den Kosinus dar (horizontale Entfernung vom Ursprung)
• Blaue Linie: Stellt den Sinus dar (vertikale Entfernung vom Ursprung)
• Oranger Bogen: Den Winkelbogen von der positiven x-Achse
• Gestrichelte violette Linie: Stellt die Tangente dar

Anwendungen des Einheitskreises

• Physik: Wellenbewegung, Schwingungen, Kreisbewegung
• Ingenieurwesen: Signalverarbeitung, Wechselstromkreise, Rotationsmechanik
• Computergrafik: Rotationen, Animationen, Spieleentwicklung
• Navigation: GPS-Berechnungen, Vermessung
• Musik: Analyse von Schallwellen, Audiosynthese

Weitere Ressourcen

• Einheitskreis – Wikipedia
• Unit Circle – Wolfram MathWorld
• Trigonometrische Funktionen – Wikipedia