Calculadora de Função Inversa
Calcule a função inversa f^(-1)(x) de uma dada função f(x) com instruções detalhadas passo a passo mostrando como encontrar a inversa algebricamente.
Calculadora de Função Inversa
Bem-vindo à nossa Calculadora de Função Inversa, uma ferramenta online gratuita que ajuda você a encontrar a inversa de uma função com instruções detalhadas passo a passo. Seja você um estudante aprendendo sobre funções inversas, preparando-se para o cálculo, ou um professor criando exemplos, esta calculadora fornece explicações claras do processo algébrico.
O que é uma Função Inversa?
Uma função inversa, denotada como $f^{-1}(x)$, reverte a operação da função original $f(x)$. Se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. Em outras palavras, a função inversa "desfaz" o que a função original faz.
As principais propriedades das funções inversas incluem:
- Propriedade de composição: $f(f^{-1}(x)) = x$ e $f^{-1}(f(x)) = x$
- Relação gráfica: O gráfico de $f^{-1}(x)$ é o reflexo de $f(x)$ através da linha $y = x$
- Troca de domínio-imagem: O domínio de $f$ torna-se a imagem de $f^{-1}$, e vice-versa
Como Encontrar a Inversa de uma Função
Siga estes passos para encontrar a função inversa algebricamente:
Passo 1: Substitua f(x) por y
Comece escrevendo a função como $y = f(x)$. Isso torna a manipulação algébrica mais fácil.
Passo 2: Troque x por y
Intercambie as variáveis x e y na equação. Isso inverte a relação de entrada e saída.
Passo 3: Resolva para y
Use técnicas algébricas para isolar y em um lado da equação. Este é frequentemente o passo mais desafiador.
Passo 4: Escreva em Notação de Função
Substitua y por $f^{-1}(x)$ para expressar a função inversa corretamente.
Passo 5: Verifique (Opcional)
Confirme sua resposta verificando se $f(f^{-1}(x)) = x$.
Funções Inversas Comuns
| Função Original $f(x)$ | Função Inversa $f^{-1}(x)$ |
|---|---|
| $f(x) = x + a$ | $f^{-1}(x) = x - a$ |
| $f(x) = ax$ | $f^{-1}(x) = \frac{x}{a}$ |
| $f(x) = ax + b$ | $f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$ |
| $f(x) = x^2$ (para $x \geq 0$) | $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ |
| $f(x) = x^3$ | $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f^{-1}(x) = \ln(x)$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f^{-1}(x) = e^x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$ |
Quando uma Função Tem Inversa?
Nem todas as funções têm funções inversas. Uma função tem inversa se e somente se for injetora (também chamada de um-para-um). Isso significa que cada valor de saída corresponde a exatamente um valor de entrada.
O Teste da Linha Horizontal
Uma função passa no teste da linha horizontal se nenhuma linha horizontal interceptar seu gráfico mais de uma vez. Se uma função passar neste teste, ela tem uma inversa.
- Funções lineares (com inclinação diferente de zero) são sempre injetoras
- Funções quadráticas não são injetoras em todos os números reais (elas falham no teste da linha horizontal)
- Funções estritamente monótonas (sempre crescentes ou sempre decrescentes) são injetoras
Restringindo o Domínio
Quando uma função não é injetora, podemos restringir seu domínio para torná-la injetora. Por exemplo:
- $f(x) = x^2$ não é injetora, mas $f(x) = x^2$ para $x \geq 0$ é injetora com inversa $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = \sin(x)$ não é injetora, mas $f(x) = \sin(x)$ para $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ é injetora com inversa $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$
Exemplos
Exemplo 1: Função Linear
Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 5$
Solução:
- Escreva como $y = 3x - 5$
- Troque: $x = 3y - 5$
- Resolva para y: $x + 5 = 3y$, logo $y = \frac{x + 5}{3}$
- Portanto, $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$
Exemplo 2: Função Racional
Encontre a inversa de $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
Solução:
- Escreva como $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
- Troque: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
- Resolva: $x(y + 2) = y - 1$, logo $xy + 2x = y - 1$
- Rearranje: $xy - y = -1 - 2x$, logo $y(x - 1) = -2x - 1$
- Portanto, $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$
Dicas para Usar Esta Calculadora
- Insira funções usando x como a variável
- Use * para multiplicação (ex: 2*x em vez de 2x)
- Use ^ ou ** para expoentes (ex: x^2 ou x**2)
- Use sqrt(x) para raiz quadrada
- Use log(x) para logaritmo natural
- Use exp(x) ou e^x para função exponencial
Perguntas Frequentes
O que significa o -1 em f^(-1)(x)?
O -1 em $f^{-1}(x)$ não é um expoente. É uma notação que indica a função inversa. Não deve ser confundido com $\frac{1}{f(x)}$, que é o recíproco de f(x).
Posso encontrar a inversa de qualquer função?
Nem todas as funções têm inversas. Apenas funções injetoras (um-para-um) têm funções inversas. Se uma função falhar no teste da linha horizontal, ela não tem uma inversa em todo o seu domínio, mas você pode ser capaz de restringir o domínio para criar uma função invertível.
Como verifico se minha inversa está correta?
Para verificar, cheque se tanto $f(f^{-1}(x)) = x$ quanto $f^{-1}(f(x)) = x$. Se ambas as composições forem iguais a x, sua inversa está correta.
Recursos Adicionais
Para saber mais sobre funções inversas:
Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:
"Calculadora de Função Inversa" em https://MiniWebtool.com/br// de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
pela equipe miniwebtool. Atualizado: 12 de Dez de 2025
Você também pode experimentar nosso Solucionador de Matemática AI GPT para resolver seus problemas de matemática através de perguntas e respostas em linguagem natural.