四分位差計算機

四分位差計算機

四分位差計算機是一款全面的統計工具，用於計算數據集的四分位差（也稱為半四分位距）。此計算機提供完整的五數概括、互動式箱線圖視覺化、使用 1.5 IQR 規則的自動離群值檢測，以及詳細的分步計算分解。無論您是學習統計學的學生、分析數據的研究人員，還是進行數據驅動決策的專業人士，此工具都能幫助您了解數據的離散程度和分布情況。

什麼是四分位差？

四分位差 (QD)，也稱為半四分位距 (SIQR)，是一種衡量統計離散程度的指標，指示數據集中間 50% 數據的分散情況。它的計算公式為四分位距 (IQR) 的一半：

其中：

• $Q_1$ = 第一四分位數（第 25 百分位數）——低於該值的數據佔 25%
• $Q_3$ = 第三四分位數（第 75 百分位數）——低於該值的數據佔 75%
• $IQR$ = 四分位距 = $Q_3 - Q_1$

為什麼要使用四分位差？

• 對離群值具有魯棒性： 與標準差不同，四分位差不受極端值的影響。
• 易於解釋： 代表從中位數到四分位數的平均距離。
• 適用於偏態數據： 是非正態分布數據集的理想選擇。
• 五數概括的基礎： 是基本描述性統計的重要組成部分。

了解四分位數和 IQR

三個四分位數

四分位數將排序後的數據集分為四個相等的部分：

• Q1（第一四分位數）： 下半部數據的中位數。25% 的值低於 Q1。
• Q2（第二四分位數/中位數）： 數據集的中值。50% 的值低於 Q2。
• Q3（第三四分位數）： 上半部數據的中位數。75% 的值低於 Q3。

四分位距 (IQR)

四分位距是 Q3 與 Q1 之差，代表中間 50% 數據的範圍。它是離散程度的關鍵衡量指標，也是四分位差和離群值檢測的基础。

IQR 與四分位差之間的關係很簡單：QD = IQR / 2。這意味著四分位差代表了從中位數到每個四分位數邊界的平均分布情況。

如何使用此計算機

1. 輸入您的數據： 在文本區域輸入數字，由逗號、空格或換行符分隔。計算機接受整數和小數，包括負數。
2. 使用範例數據（可選）： 點擊任何範例按鈕以加載預設數據集，演示正態分布、帶離群值的數據集或考試分數等不同場景。
3. 點擊計算： 按“計算四分位差”按鈕處理您的數據。
4. 查看四分位數總結： Q1、Q2（中位數）、Q3、IQR 和四分位差將顯著顯示。
5. 分析箱線圖： 互動式箱線圖直觀顯示您的數據分布，包括四分位數、鬚線和離群值。
6. 檢查離群值： 計算機會自動使用 1.5 IQR 規則檢測離群值。
7. 學習分步計算過程： 展開詳細計算部分，準確了解每個值是如何計算出來的。

五數概括

五數概括提供了數據分布的完整圖景：

統計量	說明	百分位數
最小值	數據集中的最小值	0th
Q1（第一四分位數）	下半部的中位數	25th
Q2（中位數）	中間值	50th
Q3（第三四分位數）	上半部的中位數	75th
最大值	數據集中的最大值	100th

使用 IQR 進行離群值檢測

此計算機使用 1.5 IQR 規則（Tukey 方法）來檢測離群值：

• 下限： $Q_1 - 1.5 \times IQR$ —— 低於此值的數據為潛在離群值
• 上限： $Q_3 + 1.5 \times IQR$ —— 高於此值的數據為潛在離群值

計算機區分：

• 輕微離群值： 距離四分位數 1.5 到 3 倍 IQR 的值。
• 極端離群值： 距離四分位數超過 3 倍 IQR 的值。

四分位差 vs 標準差

維度	四分位差	標準差
計算基礎	僅使用 Q1 和 Q3	使用所有數據點
離群值敏感度	魯棒（不受影響）	敏感（受影響嚴重）
最適用場景	偏態或順序數據	正態分布
解釋方式	到四分位數的平均距離	到平均值的平均距離
正態分布下的關係	QD 約等於 SD 的 0.67 倍	SD 約等於 QD 的 1.5 倍

四分位離散係數

四分位離散係數 (CQD) 是一種衡量離散程度的相對指標，允許比較具有不同單位或標度的數據集：

當比較不同平均值或單位的数据集的可變性時，CQD 非常有用。較高的 CQD 表示相對離散程度較大。

現實應用

教育與考試

四分位差幫助教育工作者了解分數的分布情況。較小的 QD 表示學生表現相近，而較大的 QD 則表示表現差異巨大。

品質控制

製造業使用四分位差來評估產品的一致性。低 QD 的產品規格更加統一。

金融與經濟

金融分析師使用 QD 來衡量收入不平等、價格穩定性和投資風險，且不會被極端值扭曲。

醫療保健

醫學研究人員使用基於四分位數的統計數據來分析可能不符合正態分布的患者數據、治療結果和生物學測量值。

社會科學

調查數據通常採用順序標度，在這種情況下，四分位差比標準差更適合衡量離散程度。

分步計算範例

數據集：2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

1. 排序數據： 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (n = 9)
2. 尋找 Q2（中位數）： 中值 = x5 = 10
3. 尋找 Q1： 下半部 (2, 4, 6, 8) 的中位數 = (4 + 6) / 2 = 5
4. 尋找 Q3： 上半部 (12, 14, 16, 18) 的中位數 = (14 + 16) / 2 = 15
5. 計算 IQR： 15 - 5 = 10
6. 計算 QD： 10 / 2 = 5

四分位差為 5，意味著在平均意義上，中間 50% 的數據值在中位數的 5 個單位範圍內。

常見問題解答

什麼是四分位差？

四分位差（QD），也稱為半四分位距（SIQR），是衡量統計離散程度的一種指標，等於四分位距（IQR）的一半。計算公式為 QD = (Q3 - Q1) / 2，其中 Q3 是第三四分位數（第 75 百分位數），Q1 是第一四分位數（第 25 百分位數）。四分位差衡量中間 50% 數據的分布，且對離群值具有魯棒性。

如何分步計算四分位差？

要計算四分位差：1) 將數據按升序排序。2) 找到 Q1（第一四分位數）——下半部數據的中位數。3) 找到 Q3（第三四分位數）——上半部數據的中位數。4) 計算 IQR = Q3 - Q1。5) 計算 QD = IQR / 2。例如，對於數據 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14：Q1 = 4, Q3 = 12, IQR = 8, QD = 4。

四分位差和標準差有什麼區別？

四分位差和標準差都衡量數據離散程度，但在關鍵點上有所不同。四分位差使用四分位數（Q1 和 Q3），對離群值穩健，是處理偏態數據的理想選擇。標準差使用所有數據點，並計算與平均值之差的平方，因此對離群值敏感。對於正態分布數據，標準差大約是四分位差的 1.5 倍。

什麼是四分位距 (IQR)？

四分位距 (IQR) 是第三四分位數 (Q3) 與第一四分位數 (Q1) 之差，代表中間 50% 數據的範圍。IQR = Q3 - Q1。IQR 是四分位差的两倍。它常用於離群值檢測：低於 Q1 - 1.5 倍 IQR 或高於 Q3 + 1.5 倍 IQR 的值被認為是潛在離群值。

什麼是四分位離散係數？

四分位離散係數 (CQD) 也稱為四分位變異係數，是一種相對變異程度指標，允許比較具有不同單位或標度的數據集。計算公式為 CQD = (Q3 - Q1) / (Q3 + Q1) 乘以 100。結果以百分比表示，數值越高表示相對離散程度越大。

附加資源

了解更多關於四分位差和統計離散程度的信息：

• 四分位數 - 維基百科
• 四分位距 - 維基百科
• 四分位距 (IQR) - Investopedia

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