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配方法計算機

透過配方法解二次方程式。獲取詳細的逐步代數運算、頂點式、幾何視覺化以及互動式拋物線圖形。

配方法計算機
⚡ 快速範例：
x²
+
x
+
= 0

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配方法計算機

配方法計算機使用配方法解任何二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\)。它提供詳細的代數步驟解說，將方程式轉換為頂點式 \(a(x - h)^2 + k\)，對根進行分類，並顯示突顯頂點和解的互動式拋物線圖。

什麼是配方法？

配方法是一種基本的代數技巧，它將二次表達式轉換為完全平方式三項式加上一個常數。給定 \(ax^2 + bx + c\)，此方法會產生等效的形式 \(a(x - h)^2 + k\)，稱為頂點式。

這個名稱源於幾何解釋：表達式 \(x^2 + bx\) 可以想像成一個邊長為 \(x\) 的正方形加上一個面積為 \(bx\) 的長方形。透過分割長方形並重新排列，您幾乎可以形成一個更大的正方形 — 缺失的角落部分是 \((b/2)^2\)，這在字面上「完成」了正方形的建構。

$$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$$

如何進行配方

按照以下步驟透過配方法解 \(ax^2 + bx + c = 0\)：

  1. 除以 a：如果首項係數 \(a \neq 1\)，將每一項除以 \(a\) 得到 \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)。
  2. 移動常數：整理為 \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。
  3. 尋找配方值：取 \(x\) 係數的一半（即 \(\frac{b}{2a}\)），將其平方得到 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)。
  4. 等號兩邊同時加上：在方程式兩邊同時加上 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)。
  5. 分解左側因式：左側變為完全平方式 \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2\)。
  6. 求解：對兩邊取平方根並解出 \(x\)。

配方法公式

對於任何二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\)，配方法得出：

$$a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = 0$$

頂點位於 \(\left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^2}{4a}\right)\)，且解為：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

這就是二次公式，事實上，它就是透過對一般二次方程式進行配方推導出來的。

何時使用配方法

雖然二次公式可以解任何二次方程式，但在以下情況下優先使用配方法：

配方法 vs. 二次公式

特性配方法二次公式
給出頂點式？是，直接給出否
尋找根？是是
顯示代數過程？詳細步驟代入公式求解
對作圖有用嗎？非常有用僅給出 x 截距
用於微積分嗎？至關重要很少使用
複雜度步驟較多一個公式

常見問題

什麼是配方法？

配方法是一種代數技巧，可將二次表達式 \(ax^2 + bx + c\) 改寫為頂點式 \(a(x - h)^2 + k\)。這是透過在方程式的一側加上和減去 \((b/2a)^2\) 來創建一個完全平方式三項式來完成的。

為什麼要使用配方法而不是二次公式？

配方法可以直接給出頂點式，揭示拋物線的頂點 \((h, k)\)、對稱軸以及最小值或最大值。二次公式僅給出根。配方法還有助於推導二次公式本身，並且對於圓錐截面和微積分至關重要。

當 a 不等於 1 時可以配方嗎？

可以。首先將每一項除以 \(a\) 以得到首項係數 1，然後對所得的首一二次式進行配方。最後，再乘以 \(a\) 以得到頂點式 \(a(x - h)^2 + k\)。

判別式告訴你關於根的什麼訊息？

判別式為 \(b^2 - 4ac\)。如果為正，則方程式有兩個相異實根。如果等於零，則恰好有一個重根。如果為負，則根為共軛複根，沒有實數解。

配方法與拋物線的頂點有什麼關係？

配方法將 \(y = ax^2 + bx + c\) 轉換為 \(y = a(x - h)^2 + k\)，其中 \((h, k)\) 是頂點。當 \(a > 0\) 時，頂點是最低點；當 \(a < 0\) 時，頂點是最高點。對稱軸為 \(x = h\)。

引用此內容、頁面或工具為：

"配方法計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/配方法計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年3月20日

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