矩陣乘法計算機

執行兩個矩陣的相乘，並提供詳細的逐步元素計算過程。查看分解後的每個點積運算，並配合顏色標記的「列 × 行」視覺化呈現。支持最高 5×5 的矩陣，並具備互動式維度控制功能。

矩陣乘法計算機

矩陣乘法計算機讓您可以將兩個矩陣相乘，並查看計算的每一個步驟。結果矩陣的每個元素都是計算為矩陣 A 的一行與矩陣 B 的一列的點積。此計算機支援高達 5×5 的矩陣，提供互動式突出顯示功能，讓您可以清楚看到每行每列如何產生每個結果元素，並使用 MathJax 渲染的公式顯示完整的數學計算過程。

矩陣乘法如何運作

給定大小為 m×n 的矩陣 A 和大小為 n×p 的矩陣 B，乘積 C = A × B 是一個大小為 m×p 的矩陣。每個元素的計算公式如下：

$$C[i,j] = \sum_{k=1}^{n} A[i,k] \times B[k,j]$$

這意味著您取 A 的第 i 行和 B 的第 j 列，將對應的元素相乘，然後將所有乘積求和。此運算稱為點積。

矩陣乘法的關鍵性質

⊗

不具交換律

一般而言 A × B ≠ B × A

⟨ ⟩

結合律

(A × B) × C = A × (B × C)

⊕

分配律

A × (B + C) = A×B + A×C

◻

單位矩陣

A × I = I × A = A

如何使用矩陣乘法計算機

設置維度 — 選擇矩陣 A 的行數和列數以及矩陣 B 的列數。矩陣 A 的列數會自動設置為矩陣 B 的行數。
輸入數值 — 在每個單元格中輸入數字。可以使用快速範例來使用預設矩陣。
計算 — 點擊「A × B 相乘」以查看結果矩陣和分步分解。
探索結果 — 將滑鼠懸停或點擊任何結果單元格，以查看其透過色彩標記突出顯示的點積可視化。使用「全部播放」來自動遍歷每個元素。

維度相容性規則

矩陣 A	矩陣 B	是否相容？	結果大小
2×3	3×2	✓ 是 (3 = 3)	2×2
3×3	3×1	✓ 是 (3 = 3)	3×1
2×3	2×3	✕ 否 (3 ≠ 2)	—
4×2	2×5	✓ 是 (2 = 2)	4×5

現實世界應用

🎮

3D 圖形

轉換、旋轉、投影

🤖

機器學習

神經網絡層、權重矩陣

📊

數據分析

共變異數、相關性、PCA

🔐

密碼學

希爾密碼 (Hill cipher) 加密/解密

📐

工程學

結構分析、電路網絡

💹

經濟學

投入產出模型、馬可夫鏈

常見問題解答

什麼是矩陣乘法？

矩陣乘法是一種運算，它取兩個矩陣 A (m×n) 和 B (n×p) 並產生一個結果矩陣 C (m×p)。每個元素 C[i][j] 被計算為矩陣 A 的第 i 行和矩陣 B 的第 j 列的點積。

為什麼 A 的列數必須等於 B 的行數？

為了定義點積，相乘的兩個向量必須具有相同的長度。A 的行有 n 個元素，B 的列有 n 個元素，因此 A 的列數必須與 B 的行數相同。

矩陣乘法滿足交換律嗎？

不，矩陣乘法不滿足交換律。一般來說，A × B 不等於 B × A。結果維度可能不同，即使兩個乘積都有定義且大小相同，其值通常也是不同的。

矩陣乘法中的點積是什麼？

元素 C[i][j] 的點積是透過將矩陣 A 第 i 行的每個元素與矩陣 B 第 j 列的相應元素相乘，然後將所有這些乘積相加來計算的。例如，如果第 i 行是 [a₁, a₂, a₃] 且第 j 列是 [b₁, b₂, b₃]，則點積為 a₁×b₁ + a₂×b₂ + a₃×b₃。

矩陣乘法的時間複雜度是多少？

標準矩陣乘法算法的時間複雜度為 O(m × n × p)，用於將 m×n 矩陣與 n×p 矩陣相乘。更高效的算法（如 Strassen 算法）對於方陣可以將其降低到大約 O(n²·⁸⁰⁷)。

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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-09

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