微积分

使用 MiniWebtool 的 Z 变换计算器，计算单边 Z 变换和因果逆 Z 变换。输入数列公式、有限样本列表或有理式 X(z)，即可获得变换结果、ROC、极点和零点、样本表以及可视化 z 平面分析。

MiniWebtool 的一阶常微分方程求解器分析 dy/dx = f(x, y) 并识别常见方程形式。初始条件可生成数值解曲线；如有可能，也会提供符号解，并用斜率场辅助几何理解。

使用 MiniWebtool 的三重积分计算器求解迭代积分。输入函数、三个积分变量和可选边界，即可获得定积分或不定积分的符号推导，并附三维背景图示。

MiniWebtool 的二阶常微分方程求解器处理由系数、外力表达式和初始值定义的线性方程。可查看闭式解、阻尼分类及所选 x 范围内的相平面行为。

使用 MiniWebtool 的微积分优化计算器，通过一阶和二阶导数检验求任意函数的最大值和最小值。可查看临界点、递增与递减区间、凹凸性分析、拐点，以及带演算步骤的交互式图表。

MiniWebtool 的伯努利常微分方程求解器可处理伯努利形式的方程，输入系数表达式 P(x)、Q(x) 和指数 n。还可选填初始值以定义特解，并查看求解过程。

使用 MiniWebtool 的偏导数计算器，在其他变量保持不变时对多变量表达式求导。指定变量和阶数，包括混合偏导，即可查看结果及所应用的求导规则。

使用 MiniWebtool 的傅里叶级数系数计算器，将周期函数分解为谐波。函数、周期边界和项数决定正弦及余弦系数，便于检查级数近似。

使用 MiniWebtool 的单变量导数计算器，对单变量函数求导。选择导数阶数或求值点，并查看所应用的法则、计算步骤和函数图。

MiniWebtool 的卷积计算器使用离散或连续卷积，将两个序列或函数进行组合。输入信号和相关起始索引，即可通过演算步骤和图示查看结果。

使用 MiniWebtool 的二重积分计算器求迭代积分。输入函数、积分变量和上下限，即可查看两次积分的过程，并结合演算步骤和三维图示理解结果。

MiniWebtool 的导数计算器可对显函数、多变量表达式或隐式方程求导。选择相应模式、变量和阶数，即可查看符号推导步骤；方向模式还可输入点和方向进行梯度分析。

MiniWebtool 的常微分方程组求解器分析耦合微分方程或矩阵定义的系统。查看特征值计算、平衡点分类和轨迹相图，了解系统的局部行为。

使用 MiniWebtool 的幂级数计算器，在指定中心展开函数。泰勒或麦克劳林系数、收敛界限和端点分析配有部分和图示，展示近似值在哪些区域贴合原函数。

在 MiniWebtool 的平均变化率计算器中输入函数 f(x) 和区间端点 [a, b]，即可计算割线斜率，并查看 MathJax 格式的逐步公式和可视化图表。

无穷积分限和奇点需要使用极限，而不能直接代入端点。MiniWebtool 的反常积分计算器可计算第一类和第二类反常积分，并展示收敛结果及推导步骤。

MiniWebtool 的快速傅里叶变换（FFT）计算器将实数或复数样本转换为频率分箱。采样率、加窗和补零选项会影响幅值、相位、频率标签和峰值摘要，供信号频谱分析使用。

使用 MiniWebtool 的拉普拉斯变换计算器，将时域函数转换到拉普拉斯域。符号结果附推导步骤，并以图示呈现原函数和变换后的表达式。

MiniWebtool 的幂级数收敛半径计算器使用比值判别法或根值判别法，确定幂级数的收敛半径和收敛区间，并提供逐步解题、收敛可视化和端点分析。

使用 MiniWebtool 的散度计算器查看向量场中的源和汇。二维或三维向量场分量可计算符号表达式 ∇·F，并可选在指定点求值；工具还提供求导步骤和二维流场图。

在 MiniWebtool 的数值积分计算器中输入函数和积分区间，即可比较 Gauss–Legendre、Romberg 和自适应 Simpson 方法的结果，并查看误差和函数求值次数。

使用 MiniWebtool 的方向场／斜率场绘图工具，在解析求解微分方程前先查看常微分方程的局部行为。输入 y′ = f(x, y) 绘制切线线段，再添加初始条件以生成数值积分的解曲线。

MiniWebtool 的方向导数计算器衡量函数在某点沿指定方向的变化率。工具计算梯度、将方向向量单位化，并通过演算步骤和三维图示展示两者的点积。

MiniWebtool 的旋度计算器可对二维或三维向量场计算旋度 ∇×F。输入各分量及可选求值点后，可查看符号推导步骤；二维向量场还附有旋转流动图示。

MiniWebtool 的旋转体体积计算器可模拟曲线旋转形成的立体。选择圆盘法、垫片法或柱壳法，输入函数和积分边界，即可查看积分设置及三维可视化。

使用 MiniWebtool 的旋转曲面计算器，探索曲线旋转形成的曲面。输入 f(x)、区间和旋转轴，即可估算曲面面积，并查看公式步骤及三维可视化。

使用 MiniWebtool 的无穷级数求和计算器，检查无穷级数是否收敛及其和。工具可处理受支持的级数形式，解释收敛判断过程，并用图示呈现部分和如何趋近结果。

使用 MiniWebtool 的曲率计算器，查看曲线弯曲的程度。输入显函数或参数曲线并选定一点，即可求曲率、曲率半径及导数步骤，并查看密切圆示意图。

MiniWebtool 的曲面积分计算器可对参数曲面计算标量曲面积分和向量场通量。选择预设或输入参数化表达式、场和积分界限，再查看法向量和曲面的三维图。

MiniWebtool 的朗斯基行列式计算器根据提供的函数构造导数矩阵并计算其行列式。分析线性无关性时，可查看展开过程并选择代入指定点；解释零值时须结合函数所满足的假设。

使用 MiniWebtool 的极限计算器，考察函数在某点附近的行为。支持单侧极限和未定式，并在适用时通过代数变形或洛必达法则的步骤进行说明。

根据多变量表达式求出函数增长最快的方向。MiniWebtool 的多变量梯度计算器计算符号偏导数和梯度向量，可选在指定点求值，并为二元函数绘制梯度场。

使用 MiniWebtool 的梯形法则计算器，根据带有积分上下限和子区间的函数，或 x、y 数据，近似计算积分。可查看演算步骤和每个梯形的面积。

使用 MiniWebtool 的欧拉法计算器，根据初始条件近似求解 y′ = f(x, y)。选择步长和迭代次数即可查看表格及斜率场路径，还可比较步长并分析与精确解的误差。

使用 MiniWebtool 的泰勒级数计算器，在某点附近近似函数。选择展开中心和阶数以查看基于导数的各项，并将多项式近似与函数图进行比较。

MiniWebtool 的洛必达法则计算器可求符合条件的 0/0 或无穷比无穷极限。输入分子、分母和趋近点，即可查看用于求解未定式的求导步骤。

在 MiniWebtool 的牛顿法计算器中，沿切线近似逐步逼近根。输入函数和初始猜测即可查看每次 Newton–Raphson 迭代、图上的路径及收敛情况。

使用 MiniWebtool 的相关变化率求解器，分析微积分中的变化量关系。选择滑动梯子或圆锥注水等情景，输入已知数值和变化率，并按导数步骤求解。

使用 MiniWebtool 的瞬时变化率计算器，根据极限定义计算任意函数在某一点的瞬时变化率。可查看 MathJax 格式的逐步解题过程、交互式切线图，以及 h 趋近于零时的收敛表。

面向微积分学习者和专业人士，MiniWebtool 的积分计算器可计算定积分和不定积分，并提供详细的逐步解题过程、交互式函数可视化和全面说明。

使用 MiniWebtool 的级数收敛性测试计算器，探索无穷级数行为。选择级数和参数即可比较适用的收敛判别法、查看推导过程及部分和图。

使用 MiniWebtool 的线积分计算器，沿参数路径对标量场或向量场积分。支持二维和三维曲线，并提供符号步骤、弧长及所选路径图示。

使用 MiniWebtool 的辛普森法计算器近似计算积分。选择 1/3 或 3/8 公式及细分数，再查看抛物线可视化、计算步骤及误差或收敛估算。

使用 MiniWebtool 的逆拉普拉斯变换计算器，对 F(s) 求逆拉普拉斯变换以得到 f(t)。可通过逐步解题过程和可视化，理解从频域到时域的转换。

对于写成 F(x,y)=0 的方程，MiniWebtool 的隐函数求导计算器无需先解出 y 即可求导。可查看链式法则步骤，并计算支持的高阶导数，最高至五阶。

使用 MiniWebtool 的麦克劳林级数计算器，在零点附近用多项式近似函数。选择展开阶数即可查看多项式项、收敛信息和余项估计，并通过部分和图观察近似效果。

使用 MiniWebtool 的黎曼和计算器比较数值积分方法。输入函数、区间和分割数，可计算左端点、右端点、中点、梯形或 Simpson 近似，并通过图示和步骤展示估算过程。

MiniWebtool 的 Runge–Kutta 四阶法（RK4）计算器使用四阶 Runge–Kutta 步骤近似求解初值微分方程。指定方程、起点、步长和终点后，可查看 k1–k4 数值及最多 1,000 步的解表。