散度计算器

通过分步偏导数计算，计算任何二维或三维向量场的散度 ∇·F。输入分量函数 P、Q（以及三维的 R），获取符号散度，在特定点进行评估，识别源和汇，并查看带有散度热图的交互式向量场可视化。

散度计算器

散度计算器可以计算任何 2D 或 3D 向量场的散度 ∇·F，并提供完整的偏导数分步计算过程。输入您的向量场分量 P、Q（以及 3D 的 R），可以选择在特定点进行评估，并获得符号散度、源/汇分类。对于 2D 场，还提供带有散度热图和粒子流动画的交互式可视化。

什么是散度？

向量场 $\mathbf{F}$ 的散度是一个标量值算子，用于测量场从某一点“散开”的速率。对于 3D 向量场 $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

对于 2D 场 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$，散度为 $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$。散度是向量微积分、流体动力学、电磁学和微分方程中的基本概念。

散度的物理意义

🔴

源 (∇·F > 0)

流体向外流动 —— 流出的多于流入的。就像从喷泉中喷出的水。

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汇 (∇·F < 0)

流体向内流动 —— 流入的多于流出的。就像排入孔中的水。

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零 (∇·F = 0)

不可压缩流动 —— 进入的等于离开的。该场是无散的（管形场）。

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散度定理

体积内的总散度等于通过其边界表面的净通量。

散度公式与坐标系

坐标系	散度公式
笛卡尔 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
笛卡尔 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
柱坐标	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
球坐标	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

涉及散度的重要恒等式

恒等式	公式
线性性质	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
乘法法则（标量 × 向量）	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
梯度的旋度	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$（始终成立）
拉普拉斯算子	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$（梯度的散度 = 拉普拉斯算子）
散度定理（高斯定理）	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

散度的应用

领域	应用	散度代表什么
电磁学	高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ —— 电荷密度产生电场散度
电磁学	磁场	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ —— 不存在磁单极子
流体动力学	连续性方程	对于不可压缩流动，$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
热传递	热传导方程	热通量的散度与温度变化相关
广义相对论	爱因斯坦场方程	能量-动量张量的无散条件

如何使用散度计算器

选择维度： 使用切换按钮选择 F = ⟨P, Q⟩ 的 2D 场或 F = ⟨P, Q, R⟩ 的 3D 场。
输入分量函数： 使用标准记法输入每个分量函数（P、Q 以及可选的 R）。使用 ^ 表示指数，* 表示乘法，并使用 sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) 等函数。支持隐式乘法（例如 2x = 2*x）。
输入计算点（可选）： 提供以逗号分隔的坐标，以便对散度进行数值评估，并将该点分类为源、汇或不可压缩。
点击“计算散度”： 查看符号散度公式、分步偏导数计算、数值评估和源/汇分类。
探索可视化： 对于 2D 场，查看带有颜色编码散度热图（红色 = 源，蓝色 = 汇）的向量场箭头和展示场行为的粒子流动画。

计算示例

求向量场 $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ 在点 $(1, 1)$ 处的散度：

第 1 步： 确定分量：$P = x$, $Q = y$。

第 2 步： 计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$。

第 3 步： 将它们求和：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$。

解读： 由于 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$，因此每个点都是一个源。该场均匀地向外膨胀 —— 想象流体在平面上的每个地方都被泵出。

常见问题解答

什么是向量场的散度？

散度是一个标量值微分算子，用于测量向量场在给定点扩展或收缩的速率。对于 3D 场 F = (P, Q, R)，散度是偏导数的总和：∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。正散度表示源（向外流动），负散度表示汇（向内流动），零散度表示不可压缩流动。

如何计算散度？

要计算散度，请对每个分量函数相对于其相应的变量求偏导数，然后将它们全部加起来。对于 2D 场 F = (P, Q)，计算 ∂P/∂x + ∂Q/∂y。对于 3D 场，加上 ∂R/∂z。结果是一个标量函数（而不是向量），它告诉你场在每个点膨胀或压缩的程度。

散度为零意味着什么？

当散度处处为零时，该向量场被称为无散场或管形场。在流体动力学中，这意味着流体是不可压缩的 —— 在任何一点都没有净膨胀或收缩。磁场总是无散的（高斯磁定律：∇·B = 0），任何向量场的旋度也总是无散的（∇·(∇×F) = 0）。

散度的物理意义是什么？

在物理上，散度测量某一点单位体积的净向外通量。想象流体中一个极小的方块：如果流出方块的流体多于流入的，散度就是正的（源）。如果流入的多于流出的，就是负的（汇）。这个概念是物理学守恒定律的核心，出现在连续性方程、Maxwell 方程和热传导方程中。

散度和旋度有什么区别？

散度和旋度都是向量场上的微分算子，但它们测量的东西不同。散度 (∇·F) 测量膨胀或收缩并产生标量。旋度 (∇×F) 测量旋转或循环并产生向量。一个场可以有非零散度但零旋度（如 F = (x, y)），或者零散度但非零旋度（如 F = (−y, x)），或者两者都有，或者两者都没有。

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