向量叉积计算器

向量叉积计算器

向量叉积计算器使用行列式公式计算两个 3D 向量的向量积。输入两个向量的分量，即可立即获得结果垂直向量及其模（平行四边形面积）、输入向量之间的夹角、分步行列式展开、垂直性验证，以及可以通过拖动旋转的交互式 3D 图表。

向量叉积公式

两个 3D 向量 \(\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) 和 \(\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) 的叉积定义为以下行列式：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

沿第一行按代数余子式展开得：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

实际应用

关键公式

向量叉积 vs. 点积

主要性质

理解右手定则

叉积的方向遵循右手定则：用右手的四个手指指向第一个向量 \(\vec{a}\) 的方向，然后向第二个向量 \(\vec{b}\) 的方向弯曲，大拇指所指的方向就是 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向。这就是为什么叉积是反交换的——颠倒顺序会使大拇指指向相反的方向，从而得到 \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\)。

模 \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) 代表由这两个向量构成的平行四边形的面积。当向量平行（\(\theta = 0°\) 或 \(180°\)）时，面积缩减为零。当它们垂直（\(\theta = 90°\)）时，面积达到最大值 \(|\vec{a}| \times |\vec{b}|\)。

如何使用向量叉积计算器

1. 输入向量 a：输入三个分量 (x, y, z)，用逗号分隔——例如 2, 3, 4。您也可以点击快速示例来自动填充这两个向量。
2. 输入向量 b：以相同的格式输入第二个向量的三个分量。
3. 观察实时预览：3D 预览会实时更新，显示两个向量、叉积向量以及平行四边形。
4. 点击计算：按下按钮获取完整结果，包括垂直的结果向量、平行四边形面积、夹角、分步行列式展开以及交互式 3D 图表。
5. 探索图表：拖动以旋转 3D 视图，切换图层（平行四边形、叉积向量、坐标轴、标签）以查看不同的可视化效果。

常见问题