余割正割余切计算器

余割正割余切计算器

欢迎使用高精度 余割/正割/余切计算器。这是一款专业级工具，可计算三种倒数三角函数 —— 余割 (csc = 1/sin)、正割 (sec = 1/cos) 和 余切 (cot = cos/sin)，精度可调范围为 1 到 1000 位小数。它支持以度或弧度为单位的角度，提供逐步解释、定义域验证和交互式单位圆可视化。

理解倒数三角函数

六个三角函数可以分为两组：基本函数（正弦、余弦、正切）和它们的倒数（余割、正割、余切）。虽然计算器通常包含 sin、cos 和 tan 按钮，但倒数函数在数学、物理和工程中同样重要。

余割 (csc)

余割是正弦的倒数。在直角三角形中，它等于斜边与角度对边之比。当 sin(θ) = 0 时，余割未定义，这发生在 θ = 0°、180°、360°、...（或 θ = kπ 弧度，其中 k 是任何整数）。

正割 (sec)

正割是余弦的倒数。在直角三角形中，它等于斜边与角度邻边之比。当 cos(θ) = 0 时，正割未定义，这发生在 θ = 90°、270°、...（或 θ = π/2 + kπ 弧度）。

余切 (cot)

余切是正切的倒数。它可以计算为 cos(θ)/sin(θ)，或者是直角三角形中邻边与对边的比值。当 sin(θ) = 0 时，余切未定义，角度与余割未定义的位置相同。

定义域与值域

常用值

单位圆解释

在单位圆上，倒数三角函数具有优雅的几何解释：

• 正割 (sec θ)：角度 θ 的终边与垂直线 x = 1 相交处的 x 坐标
• 余割 (csc θ)：角度 θ 的终边与水平线 y = 1 相交处的 y 坐标
• 余切 (cot θ)：终边与水平线 y = 1 相交处的 x 坐标

涉及倒数函数的恒等式

毕达哥拉斯恒等式

• $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$
• $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$

商数恒等式

• $\cot(\theta) = \frac{\csc(\theta)}{\sec(\theta)}$
• $\tan(\theta) = \frac{\sec(\theta)}{\csc(\theta)}$

余函数恒等式

• $\csc(\theta) = \sec(90° - \theta)$
• $\sec(\theta) = \csc(90° - \theta)$
• $\cot(\theta) = \tan(90° - \theta)$

如何使用此计算器

1. 输入角度：在输入框中输入任何实数。您可以使用小数或表达式。
2. 选择单位：选择您的角度是度数还是弧度。
3. 设置精度：调整结果的小数位数 (1-1000)。使用预设按钮获取常用值。
4. 点击“计算”：查看结果以及逐步解释和单位圆可视化。

应用

倒数三角函数出现在科学和工程的各个领域：

• 物理学：波动力学、光学和电磁理论在积分公式中经常使用 sec 和 csc
• 工程学：结构分析、信号处理和控制系统
• 导航：天文计算和大地测量广泛使用这些函数
• 微积分：积分技术经常涉及 sec 和 csc，特别是在三角代换法中

常见问题

什么是余割函数 (csc)？

余割 (csc) 是正弦函数的倒数。定义为 csc(θ) = 1/sin(θ) = 斜边/对边。当 sin(θ) = 0 时，余割未定义，这发生在 θ = kπ (k ∈ ℤ)，即 0°、180°、360° 等。

什么是正割函数 (sec)？

正割 (sec) 是余弦函数的倒数。定义为 sec(θ) = 1/cos(θ) = 斜边/邻边。当 cos(θ) = 0 时，正割未定义，这发生在 θ = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)，即 90°、270° 等。

什么是余切函数 (cot)？

余切 (cot) 是正切函数的倒数。定义为 cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) = 1/tan(θ) = 邻边/对边。当 sin(θ) = 0 时，余切未定义，这发生在 θ = kπ (k ∈ ℤ)。

csc、sec 和 cot 什么时候未定义？

当 sin(θ) = 0 时，余割和余切未定义，角度为 0°、180°、360° (或 θ = kπ 弧度)。当 cos(θ) = 0 时，正割未定义，角度为 90°、270° (或 θ = π/2 + kπ 弧度)。这些是这些函数的渐近线。

如何在度数和弧度之间转换？

要将度数转换为弧度，请乘以 π/180。要将弧度转换为度数，请乘以 180/π。例如， 90° = 90 × π/180 = π/2 弧度，而 π 弧度 = π × 180/π = 180°。

相关资源

• 三角函数 - 维基百科
• 单位圆 - 维基百科

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