영공간 계산기

가우스 소거법을 사용하여 Ax = 0을 풀고 모든 행렬의 영공간(커널)을 찾으세요. 기저 벡터, 영공간의 차원(Nullity), 단계별 RREF 축소 과정 및 정확한 분수 산술을 통한 차원 정리를 확인하실 수 있습니다.

영공간 계산기

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영공간 계산기 정보

영공간 계산기는 동차 연립방정식 Ax = 0을 풀어 모든 행렬의 영공간(커널)을 구합니다. 최대 8×8 크기의 행렬을 입력하고 정확한 분수 산술, RREF로의 단계별 가우스 소거법, 열 분류(피벗 vs 자유 변수) 및 차원 정리 확인을 포함한 완전한 영공간 기저를 확인하세요.

행렬의 영공간이란 무엇인가요?

$m \times n$ 행렬 $A$의 영공간(커널이라고도 함)은 다음을 만족하는 $\mathbb{R}^n$의 모든 벡터 $\mathbf{x}$의 집합입니다.

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

집합으로 표현하면: $\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}$. 영공간은 항상 $\mathbb{R}^n$의 부분공간입니다. 즉, 영벡터를 포함하며 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있습니다.

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부분공간

영공간은 항상 R^n의 부분공간입니다. 영벡터를 포함하며 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있습니다.

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차원 = Nullity

영공간의 차원은 nullity와 같습니다. 이는 행 축소 후 자유 변수의 수와 동일합니다.

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자유 변수

RREF의 각 자유 변수는 영공간의 기저 벡터 하나씩에 대응합니다.

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차원 정리

rank(A) + nullity(A) = n (n은 열의 수). 이 정리는 항상 성립합니다.

영공간 구하는 방법

단계 1. +/− 컨트롤을 사용하여 행렬의 행 수(m)와 열 수(n)를 설정하거나, 빠른 예시를 클릭하여 미리 설정된 행렬을 불러옵니다.

단계 2. 그리드에 행렬 값을 입력합니다. 정수, 소수 또는 1/3, -5/2와 같은 분수를 입력할 수 있습니다. Tab, Enter 또는 화살표 키를 사용하여 셀 사이를 이동하세요.

단계 3. 영공간 구하기를 클릭합니다. 계산기가 가우스 소거법을 수행하여 행렬을 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환합니다.

단계 4. 피벗 열과 자유 열을 식별합니다. 각 자유 열은 어떤 값이라도 가질 수 있는 자유 변수에 해당합니다.

단계 5. 각 자유 변수에 대해, 하나를 1로 설정하고 나머지 모든 자유 변수를 0으로 설정한 후 피벗 변수에 대해 풉니다. 결과 벡터들이 영공간의 기저를 형성합니다.

영공간 vs. 열공간

속성	영공간 (Null Space)	열공간 (Column Space)
정의	Ax = 0인 모든 x	Ax = b의 해가 존재하는 모든 b
소속 공간	$\mathbb{R}^n$ (정의역)	$\mathbb{R}^m$ (공역)
차원	nullity = n − rank	rank
구하는 법	RREF의 자유 열로부터 도출	A의 피벗 열로부터 도출

차원 정리 (Rank-Nullity Theorem)

모든 $m \times n$ 행렬 $A$에 대해 다음이 성립합니다.

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

랭크는 RREF에서 피벗 열의 수이고, nullity는 자유 열의 수입니다. 이 둘의 합은 모든 열의 개수와 같습니다. 이 정리는 선형 사상의 차원 정리로도 알려져 있습니다.

특수한 경우

시나리오	영공간	의미
전열 랭크 (rank = n)	{0}만 존재	열들이 선형 독립임; Ax = 0은 자명한 해만 가짐
행보다 열이 많은 경우 (n > m)	항상 비자명함	최소 n − m개의 자유 변수가 있어 무수히 많은 해가 존재함
정사각 특이 행렬	비자명함	행렬식(determinant)이 0이며 종속인 행/열이 존재함
영행렬	$\mathbb{R}^n$ 전체	모든 벡터가 영공간에 속함; 기저는 표준 기저임

영공간의 응용

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선형 시스템

Ax = b의 일반해는 x = x_p + Null(A)입니다. 여기서 x_p는 하나의 특수해입니다.

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선형 독립성

A의 열들이 선형 독립일 필요충분조건은 Null(A) = {0}인 것입니다.

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미분 방정식

동차 선형 상미분 방정식 시스템의 해 공간은 계수 행렬의 영공간입니다.

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오류 정정 부호

부호 이론에서 유효한 부호어들은 패리티 검사 행렬 H의 영공간을 형성합니다.

자주 묻는 질문

행렬의 영공간이란 무엇인가요?

행렬 A의 영공간(또는 커널)은 Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합입니다. 이는 n이 열의 수일 때 R^n의 부분공간입니다. 영공간은 항상 영벡터를 포함하며, 행렬에 자유 변수가 있는 경우 무수히 많은 영이 아닌 벡터를 포함할 수 있습니다.

영공간은 어떻게 구하나요?

가우스 소거법을 사용하여 행렬 A를 기약 행 사다리꼴(RREF)로 변환합니다. 피벗 열과 자유 열을 식별합니다. 각 자유 변수에 대해 하나는 1로 설정하고 나머지 자유 변수는 0으로 설정한 후 피벗 변수에 대해 풉니다. 결과 벡터들이 영공간의 기저를 형성합니다.

차원 정리(rank-nullity theorem)란 무엇인가요?

차원 정리는 m x n 행렬 A에 대해 rank(A) + nullity(A) = n이 성립한다는 정리입니다. 여기서 n은 열의 수입니다. 랭크는 피벗 열의 수이고, nullity는 영공간의 차원(자유 변수의 수)입니다.

영공간이 자명하다는 것은 무엇을 의미하나요?

자명한 영공간은 Ax = 0의 유일한 해가 영벡터 x = 0뿐임을 의미합니다. 이는 모든 열이 피벗 열일 때(전열 랭크) 발생합니다. 즉, A의 열들이 선형 독립임을 의미합니다.

정사각 행렬이 아니어도 영공간을 가질 수 있나요?

네. 모든 행렬은 영공간을 가집니다. m이 n보다 작은 m x n 행렬의 경우, 방정식보다 미지수가 더 많아 자유 변수가 항상 존재하므로 영공간은 반드시 비자명합니다(차원이 최소 n - m).

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miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026-04-10

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