Calculateur de la Conjecture de Collatz

Bienvenue sur le calculateur de la conjecture de Collatz, un outil interactif pour explorer l'un des problèmes non résolus les plus fascinants des mathématiques. Entrez n'importe quel entier positif et observez comment la suite de Syracuse se déroule à travers une série de règles simples jusqu'à ce qu'elle atteigne inévitablement la boucle 4 → 2 → 1. Le graphique de trajectoire interactif, la décomposition étape par étape et les statistiques complètes vous aident à visualiser et à comprendre le comportement surprenant de la suite de Collatz.

Qu'est-ce que la conjecture de Collatz ?

La conjecture de Collatz, également connue sous le nom de problème 3n+1, problème de Syracuse ou problème de la grêle, est l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en mathématiques. Elle a été proposée pour la première fois par le mathématicien allemand Lothar Collatz en 1937.

La conjecture stipule : Partez de n'importe quel entier positif n. Si n est pair, divisez-le par 2. Si n est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Répétez ce processus. La conjecture affirme que quel que soit le nombre de départ choisi, la suite finira toujours par atteindre 1.

Les règles de Collatz

À partir de n'importe quel entier positif \(n\), l'application répétée de \(f\) produit une suite appelée suite de Syracuse (ou suite de Collatz). La conjecture prétend que cette suite atteint toujours 1, après quoi elle entre dans le cycle 1 → 4 → 2 → 1.

Pourquoi l'appelle-t-on suite « hailstone » (grêlon) ?

La suite est appelée suite de grêlons en anglais (hailstone sequence) parce que les valeurs montent et descendent de manière erratique, un peu comme un grêlon qui est projeté de haut en bas à l'intérieur d'un nuage d'orage avant de finir par tomber au sol. Lorsqu'un nombre impair est triplé et incrémenté, la valeur grimpe en flèche ; lorsque les nombres pairs sont divisés par deux, la valeur chute. Finalement, le « grêlon » atteint le sol — le chiffre 1.

Comment utiliser ce calculateur

1. Entrez un nombre de départ : Tapez n'importe quel entier positif dans le champ de saisie. Essayez les exemples rapides pour des valeurs de départ célèbres comme 27 ou 871.
2. Générez la suite : Cliquez sur « Générer la suite » pour calculer la suite de Syracuse complète.
3. Explorez la trajectoire : Le graphique interactif montre la valeur à chaque étape. Basculez entre l'échelle linéaire et logarithmique pour une meilleure visualisation des pics extrêmes.
4. Consultez les statistiques : Vérifiez le temps de vol, la valeur maximale, le rapport de croissance et le nombre d'étapes paires/impaires.
5. Étudiez étape par étape : Le tableau détaillé montre chaque opération appliquée à chaque étape, avec un code couleur pour les étapes paires (n/2) et impaires (3n+1).

Comprendre les résultats

Statistiques clés

• Temps de vol : Le nombre total d'étapes pour atteindre 1. Également appelé temps de vol total.
• Valeur maximale : Le nombre le plus élevé atteint au cours de la suite. Peut être étonnamment grand même pour de petites valeurs de départ.
• Rapport de croissance : Le rapport entre la valeur maximale et la valeur de départ. Montre à quel point la suite « grandit » avant de redescendre.
• Étapes paires : Nombre de fois où n/2 a été appliqué (valeurs qui étaient paires).
• Étapes impaires : Nombre de fois où 3n+1 a été appliqué (valeurs qui étaient impaires).

Graphique de trajectoire de la suite

Le graphique interactif visualise la suite de Syracuse avec trois points mis en évidence :

• Point vert — Valeur de départ
• Point rouge — Valeur maximale (point le plus haut)
• Point doré — Valeur finale (1)

Pour les suites avec des pics très importants, passez à l'échelle logarithmique pour voir plus clairement la forme générale.

Exemples célèbres

Le nombre 27

Le nombre 27 est peut-être la valeur de départ la plus célèbre dans la recherche sur la conjecture de Collatz. Bien qu'étant un petit nombre, il produit une suite de 111 étapes et atteint un pic de 9 232 — soit plus de 341 fois sa valeur initiale. Ce comportement spectaculaire en fait un exemple classique de l'imprévisibilité de la conjecture.

Détenteurs de records pour les plus longues suites

Propriétés mathématiques

Ratio d'étapes paires vs impaires

Dans une suite de Collatz typique, les étapes paires (n/2) sont nettement plus nombreuses que les étapes impaires (3n+1). C'est parce que chaque étape impaire produit un nombre pair (3n+1 est toujours pair quand n est impair), qui est ensuite immédiatement divisé par deux. En moyenne, le ratio des étapes paires par rapport aux étapes impaires est d'environ 2:1, ce qui est un argument heuristique expliquant pourquoi les suites ont tendance à diminuer globalement.

La boucle 4-2-1

Chaque suite de Collatz qui atteint 1 entre ensuite dans le cycle : 1 → 4 → 2 → 1. La conjecture peut être énoncée de manière équivalente ainsi : « Il n'y a pas d'autre cycle », ce qui signifie qu'aucun nombre de départ n'entre dans un cycle qui n'inclut pas 1, et qu'aucune suite ne diverge vers l'infini.

Vérification informatique

La conjecture de Collatz a été vérifiée par ordinateur pour toutes les valeurs de départ jusqu'à environ \(2,95 \times 10^{20}\) (en 2020). Bien qu'il s'agisse d'une preuve solide, cela ne constitue pas une démonstration formelle.

Histoire et recherche notable

• 1937 : Lothar Collatz pose pour la première fois la conjecture alors qu'il étudie à l'Université de Hambourg.
• Années 1970 : Le problème attire largement l'attention de la communauté mathématique et acquiert de nombreux noms (Syracuse, Ulam, Kakutani).
• 1985 : Jeffrey Lagarias publie une étude complète et montre des liens avec la théorie des nombres et les systèmes dynamiques.
• 2019 : Terence Tao prouve que « presque toutes » les orbites de Collatz atteignent des valeurs presque bornées, le résultat partiel le plus solide à ce jour concernant la conjecture.

Paul Erdős a dit de la conjecture de Collatz : « Les mathématiques ne sont peut-être pas encore prêtes pour de tels problèmes. »

Foire aux questions

Qu'est-ce que la conjecture de Collatz ?

La conjecture de Collatz (aussi connue sous le nom de problème 3n+1) stipule que pour tout entier positif, si vous appliquez répétitivement la règle « si pair, divisez par 2 ; si impair, multipliez par 3 et ajoutez 1 », la suite finira toujours par atteindre 1.

Qu'est-ce qu'une suite de Syracuse ?

Une suite de Syracuse est la série de nombres produits en appliquant répétitivement les règles de Collatz à un nombre de départ jusqu'à atteindre 1. On l'appelle aussi suite de Collatz ou suite hailstone.

Qu'est-ce que le temps de vol dans la conjecture de Collatz ?

Le temps de vol est le nombre total d'étapes nécessaires pour qu'un nombre atteigne 1. Ce nombre varie grandement et ne suit pas de schéma simple prévisible.

Pourquoi 27 est-il célèbre ?

Le nombre 27 est célèbre car il produit une suite étonnamment longue de 111 étapes et atteint un pic très élevé (9 232) malgré sa petite taille initiale.

La conjecture a-t-elle été prouvée ?

Non, elle n'a pas été prouvée à ce jour. Bien qu'elle soit vérifiée pour des nombres immenses, une preuve mathématique universelle manque encore.

Quelle est la plus longue suite pour les petits nombres ?

Sous 1 000, c'est 871 avec 178 étapes. Sous 1 000 000, c'est 837 799 avec 524 étapes.

Ressources supplémentaires

• Conjecture de Syracuse - Wikipédia
• Collatz Conjecture - Wikipedia (EN)