Hyperbelfunktionen-Rechner

Q: Was sind Hyperbelfunktionen?

Hyperbelfunktionen sind Analoga zu den trigonometrischen Funktionen, basieren jedoch auf der Einheits-Hyperbel x^2 - y^2 = 1 anstelle des Einheitskreises. Die wichtigsten Hyperbelfunktionen sind sinh (Sinus Hyperbolicus), cosh (Cosinus Hyperbolicus) und tanh (Tangens Hyperbolicus), die über Exponentialfunktionen definiert sind.

Q: Wie lautet die Formel für sinh(x)?

Der Sinus Hyperbolicus ist definiert als sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2. Es ist eine ungerade Funktion, deren Definitions- und Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst. sinh(0) = 0.

Q: Was ist die grundlegende hyperbolische Identität?

Die grundlegende hyperbolische Identität lautet cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1, was analog zur trigonometrischen Identität cos^2(x) + sin^2(x) = 1 ist. Diese Identität kann für jeden reellen Wert von x verifiziert werden.

Q: Wo werden Hyperbelfunktionen verwendet?

Hyperbelfunktionen treten in vielen Bereichen auf, darunter: Physik (Spezielle Relativitätstheorie, Wellengleichungen), Ingenieurwesen (Kettenkurven, Signalverarbeitung), Architektur (Hängebrücken, Bögen) und maschinelles Lernen (tanh-Aktivierungsfunktionen in neuronalen Netzen).

Q: Was ist der Definitionsbereich von acosh(x)?

Der Areacosinus Hyperbolicus acosh(x) ist nur für x >= 1 definiert, da cosh(x) immer Werte >= 1 zurückgibt. Der Wertebereich von acosh ist [0, Unendlich).

Berechnen Sie Hyperbelfunktionen (sinh, cosh, tanh) und deren Umkehrfunktionen (asinh, acosh, atanh) mit einstellbarer Präzision von 1 bis 1000 Dezimalstellen. Bietet Schritt-für-Schritt-Lösungen, interaktive Graphen und Identitätsprüfung.

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Cosinus Hyperbolicus

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Inverse tanh (-1<x<1)

Eingabewert (x)

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Hyperbelfunktionen-Rechner

Willkommen beim Hyperbelfunktionen-Rechner, einem leistungsstarken Online-Tool zur Berechnung von Hyperbelfunktionen mit außergewöhnlicher Präzision. Berechnen Sie sinh, cosh, tanh und deren Umkehrfunktionen (asinh, acosh, atanh) mit einer Genauigkeit von bis zu 1000 Dezimalstellen, ergänzt durch Schritt-für-Schritt-Lösungen und interaktive Visualisierungen.

Was sind Hyperbelfunktionen?

Hyperbelfunktionen sind mathematische Funktionen, die Analoga zu den gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen sind, aber über die Hyperbel statt über den Kreis definiert werden. Während sich trigonometrische Funktionen auf Punkte auf dem Einheitskreis $x^2 + y^2 = 1$ beziehen, beziehen sich Hyperbelfunktionen auf Punkte auf der Einheitshyperbel $x^2 - y^2 = 1$.

Die drei primären Hyperbelfunktionen sind:

Sinus Hyperbolicus (sinh): Definiert als $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
Cosinus Hyperbolicus (cosh): Definiert als $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
Tangens Hyperbolicus (tanh): Definiert als $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

Formeln der Hyperbelfunktionen

Sinus Hyperbolicus

$$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

Cosinus Hyperbolicus

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Tangens Hyperbolicus

$$\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Areasinus Hyperbolicus

$$\text{asinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)$$

Areacosinus Hyperbolicus

$$\text{acosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right)$$

Areatangens Hyperbolicus

$$\text{atanh}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$

Die grundlegende hyperbolische Identität

Genau wie trigonometrische Funktionen die Gleichung $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ erfüllen, erfüllen Hyperbelfunktionen die grundlegende Identität:

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

Diese Identität kann für jede reelle Zahl x verifiziert werden und ist eine direkte Folge der exponentiellen Definitionen von cosh und sinh.

Definitions- und Wertebereich von Hyperbelfunktionen

Funktion	Definitionsbereich	Wertebereich	Parität
sinh(x)	Alle reellen Zahlen	Alle reellen Zahlen	Ungerade
cosh(x)	Alle reellen Zahlen	[1, +Unendlich)	Gerade
tanh(x)	Alle reellen Zahlen	(-1, 1)	Ungerade
asinh(x)	Alle reellen Zahlen	Alle reellen Zahlen	Ungerade
acosh(x)	[1, +Unendlich)	[0, +Unendlich)	Weder noch
atanh(x)	(-1, 1)	Alle reellen Zahlen	Ungerade

So verwenden Sie diesen Rechner

Eingabewert eingeben: Geben Sie eine Zahl in das Eingabefeld ein. Dies kann jede reelle Zahl für sinh, cosh, tanh und asinh sein. Für acosh geben Sie einen Wert größer oder gleich 1 ein. Für atanh geben Sie einen Wert zwischen -1 und 1 ein.
Funktion auswählen: Wählen Sie sinh, cosh, tanh (direkte Funktionen) oder asinh, acosh, atanh (Umkehrfunktionen) mithilfe der Funktionskarten oder des Dropdown-Menüs aus.
Präzision festlegen: Geben Sie die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen (1-1000) ein oder wählen Sie aus vordefinierten Werten wie 10, 50, 100 oder 500 Dezimalstellen.
Berechnen und Ergebnisse anzeigen: Klicken Sie auf Berechnen, um das Ergebnis mit Ihrer gewählten Präzision zusammen mit Schritt-für-Schritt-Berechnungen, einem interaktiven Graphen und zugehörigen Funktionswerten anzuzeigen.

Anwendungen von Hyperbelfunktionen

Physik und Relativitätstheorie

In der Speziellen Relativitätstheorie beschreiben Hyperbelfunktionen die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Rapidität. Der Lorentz-Faktor beinhaltet cosh, und die Geschwindigkeitsaddition verwendet tanh. Sie treten auch in Lösungen der Wellengleichung und Wärmeleitungsgleichung auf.

Ingenieurwesen: Kettenlinien

Eine hängende Kette oder ein Kabel bildet eine Kettenlinie (Katenoide), die durch die Gleichung $y = a \cosh(x/a)$ beschrieben wird. Diese Form findet sich bei Hängebrücken, Stromleitungen und dem Gateway Arch in St. Louis.

Maschinelles Lernen

Die tanh-Funktion wird häufig als Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen verwendet. Sie bildet Eingabewerte auf den Bereich (-1, 1) ab, was den Netzen hilft, nichtlineare Beziehungen zu lernen, während die Gradienten begrenzt bleiben.

Häufig gestellte Fragen

Was sind Hyperbelfunktionen?

Hyperbelfunktionen sind Analoga zu den trigonometrischen Funktionen, basieren jedoch auf der Einheitshyperbel $x^2 - y^2 = 1$ anstelle des Einheitskreises. Die wichtigsten Hyperbelfunktionen sind sinh (Sinus Hyperbolicus), cosh (Cosinus Hyperbolicus) und tanh (Tangens Hyperbolicus), die über Exponentialfunktionen definiert sind.

Wie lautet die Formel für sinh(x)?

Der Sinus Hyperbolicus ist definiert als $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. Es ist eine ungerade Funktion, deren Definitions- und Wertebereich alle reellen Zahlen umfasst. $\sinh(0) = 0$.

Was ist die grundlegende hyperbolische Identität?

Die grundlegende hyperbolische Identität ist $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, was analog zur trigonometrischen Identität $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ ist. Diese Identität kann für jeden reellen Wert von x verifiziert werden.

Wo werden Hyperbelfunktionen verwendet?

Hyperbelfunktionen treten in vielen Bereichen auf, darunter: Physik (Spezielle Relativitätstheorie, Wellengleichungen), Ingenieurwesen (Kettenkurven, Signalverarbeitung), Architektur (Hängebrücken, Bögen) und maschinelles Lernen (tanh-Aktivierungsfunktionen in neuronalen Netzen).

Was ist der Definitionsbereich von acosh(x)?

Der Areacosinus Hyperbolicus acosh(x) ist nur für $x \geq 1$ definiert, da cosh(x) immer Werte größer oder gleich 1 zurückgibt. Der Wertebereich von acosh ist $[0, +\infty)$.

Referenzen

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vom miniwebtool-Team. Aktualisiert am: 13. Januar 2026

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