Calculadora de Domínio e Imagem
Determine o domínio (entradas possíveis) e a imagem (saídas possíveis) de funções algébricas com análise passo a passo e notação de intervalo.
Calculadora de Domínio e Imagem
Bem-vindo à nossa Calculadora de Domínio e Imagem, uma ferramenta online gratuita que ajuda você a encontrar o domínio e a imagem de funções algébricas. Se você é um estudante aprendendo sobre funções, preparando-se para exames ou um professor criando exemplos, esta calculadora fornece uma análise passo a passo com resultados claros em notação de intervalo.
O que é o Domínio de uma Função?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis (tipicamente valores de x) para os quais a função produz uma saída válida. Em outras palavras, representa todos os valores de x que você pode substituir na função sem causar erros matemáticos.
Restrições comuns que limitam o domínio incluem:
- Divisão por zero: O denominador de uma fração não pode ser igual a zero
- Raízes quadradas de números negativos: Raízes pares requerem radicandos não negativos em números reais
- Logaritmos: O argumento de um logaritmo deve ser positivo
- Funções trigonométricas inversas: Têm restrições de entrada específicas
O que é a Imagem de uma Função?
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis (tipicamente valores de y) que a função pode produzir. Representa todos os valores que f(x) pode realmente atingir conforme x varia sobre o domínio.
Encontrar a imagem muitas vezes requer analisar:
- Valores máximos e mínimos: Quais são as maiores e menores saídas?
- Comportamento assintótico: O que acontece conforme x se aproxima do infinito ou de certos valores?
- Transformações de função: Como deslocamentos e alongamentos afetam a saída
Tipos Comuns de Função e Seu Domínio/Imagem
| Tipo de Função | Forma Geral | Domínio | Imagem |
|---|---|---|---|
| Linear | $f(x) = mx + b$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| Quadrática | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[k, +\infty)$ ou $(-\infty, k]$ |
| Raiz Quadrada | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ |
| Racional | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ |
| Logarítmica | $f(x) = \log(x)$ | $(0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| Exponencial | $f(x) = e^x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| Seno | $f(x) = \sin(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ |
Como Encontrar o Domínio - Passo a Passo
Passo 1: Identifique Potenciais Restrições
Procure operações que tenham restrições de entrada:
- Frações - denominadores não podem ser iguais a zero
- Raízes pares (raízes quadradas, raízes quartas, etc.) - o radicando deve ser não negativo
- Logaritmos - o argumento deve ser positivo
Passo 2: Resolva para Valores Restritos
Para cada restrição identificada, resolva a equação ou desigualdade para encontrar os valores excluídos.
Passo 3: Escreva o Domínio em Notação de Intervalo
Expresse o domínio usando notação de intervalo, excluindo os valores restritos. Use parênteses ( ) para intervalos abertos (valor não incluído) e colchetes [ ] para intervalos fechados (valor incluído).
Exemplos
Exemplo 1: Função Racional
Encontre o domínio de $f(x) = \frac{1}{x-2}$
Solução: O denominador $x-2 = 0$ quando $x = 2$. Portanto, o domínio é $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, o que significa todos os números reais exceto 2.
Exemplo 2: Função de Raiz Quadrada
Encontre o domínio de $f(x) = \sqrt{x-3}$
Solução: O radicando $x-3 \geq 0$, então $x \geq 3$. O domínio é $[3, +\infty)$.
Exemplo 3: Função Logarítmica
Encontre o domínio de $f(x) = \log(x+1)$
Solução: O argumento $x+1 > 0$, então $x > -1$. O domínio é $(-1, +\infty)$.
Guia de Notação de Intervalo
- $(a, b)$ - Intervalo aberto: todos os números entre a e b, não incluindo a e b
- $[a, b]$ - Intervalo fechado: todos os números entre a e b, incluindo a e b
- $(a, b]$ - Intervalo semiaberto: inclui b mas não a
- $[a, b)$ - Intervalo semiaberto: inclui a mas não b
- $(-\infty, a)$ - Todos os números menores que a
- $(a, +\infty)$ - Todos os números maiores que a
- $\cup$ - Símbolo de união: combina dois ou mais intervalos
Dicas para Usar Esta Calculadora
- Insira funções usando x como a variável
- Use ^ ou ** para expoentes (ex: x^2 ou x**2)
- Use sqrt(x) para raiz quadrada
- Use log(x) para logaritmo natural
- Use sin(x), cos(x), tan(x) para funções trigonométricas
- Use exp(x) ou e^x para função exponencial
Perguntas Frequentes
Uma função pode ter um domínio vazio?
Sim, uma função pode ter um domínio vazio se não houver valores reais de x que tornem a função definida. Por exemplo, $f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ não tem domínio real porque $-x^2-1$ é sempre negativo.
Qual a diferença entre domínio e imagem?
Domínio refere-se a todos os valores de entrada possíveis (valores de x), enquanto imagem refere-se a todos os valores de saída possíveis (valores de y). Pense no domínio como o que você pode colocar na função, e na imagem como o que você pode obter dela.
Por que o infinito é escrito com parênteses?
O infinito é sempre escrito com parênteses porque não é um número real que pode ser alcançado ou incluído. Podemos apenas nos aproximar do infinito, nunca realmente incluí-lo em um intervalo.
Recursos Adicionais
Para saber mais sobre domínio e imagem de funções:
Cite este conteúdo, página ou ferramenta como:
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pela equipe miniwebtool. Atualizado: 11 de Dez, 2025
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