Calculadora de Distribuição de Probabilidade

Bem-vindo à Calculadora de Distribuição de Probabilidade, uma ferramenta estatística abrangente para calcular probabilidades, probabilidades acumuladas (CDF) e quantis (CDF inversa) para várias distribuições de probabilidade. Seja você um estudante aprendendo estatística, um pesquisador analisando dados ou um profissional trabalhando com modelos estatísticos, esta calculadora fornece soluções detalhadas passo a passo e visualizações interativas para ajudá-lo a entender as distribuições de probabilidade.

Distribuições de Probabilidade Suportadas

Esta calculadora suporta sete distribuições de probabilidade comumente usadas, cada uma adequada para diferentes tipos de fenômenos aleatórios:

Entendendo PDF, CDF e Funções Quantis

Função de Densidade/Massa de Probabilidade (PDF/PMF)

A PDF (para distribuições contínuas) ou PMF (para distribuições discretas) fornece a verossimilhança relativa de uma variável aleatória assumir um valor específico. Para distribuições contínuas, o valor da PDF em si não é uma probabilidade, mas sim uma densidade — as probabilidades são encontradas integrando a PDF sobre um intervalo.

Função de Distribuição Acumulada (CDF)

A CDF, denotada por F(x), fornece a probabilidade de que uma variável aleatória X seja menor ou igual a um valor x. Isso é escrito como P(X ≤ x). A CDF sempre aumenta de 0 para 1 conforme x aumenta.

Função Quantil (CDF Inversa)

A função quantil (também chamada de função de ponto percentual ou CDF inversa) encontra o valor x para o qual P(X ≤ x) = p. Ela responde: "Qual valor é excedido por apenas (1-p)×100% da distribuição?" Isso é essencial para encontrar valores críticos em testes de hipóteses.

Fórmulas de Distribuição

Distribuição Normal

A distribuição Normal (Gaussiana) é simétrica e em forma de sino, caracterizada pela média μ (centro) e desvio padrão σ (dispersão).

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• Quantil: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

Distribuição Binomial

Modela o número de sucessos em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p.

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

Distribuição de Poisson

Modela o número de eventos em um intervalo fixo quando os eventos ocorrem a uma taxa média constante λ.

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

Distribuição Exponencial

Modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson com taxa λ.

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) para x ≥ 0
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• Quantil: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

Distribuição Qui-Quadrado

Surge na estatística como a soma de variáveis normais padrão ao quadrado. Usada em testes de hipóteses e intervalos de confiança para variância.

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) para x > 0

Distribuição t de Student

Semelhante à Normal, mas com caudas mais pesadas. Usada para inferência sobre médias populacionais quando o tamanho da amostra é pequeno ou a variância populacional é desconhecida.

• PDF: \( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

Como Usar Esta Calculadora

1. Selecione uma distribuição: Clique no cartão da distribuição que corresponde aos seus dados ou problema. Cada cartão mostra o tipo de distribuição (contínua ou discreta).
2. Escolha o tipo de cálculo: Selecione PDF/PMF para probabilidade em um ponto, CDF para probabilidade acumulada, ou Quantil para encontrar um valor para uma determinada probabilidade.
3. Insira os parâmetros: Insira os parâmetros da distribuição. O formulário mostra dinamicamente apenas os parâmetros relevantes para a distribuição escolhida.
4. Insira o valor ou probabilidade: Para PDF/CDF, insira o valor x (ou k para discretas). Para Quantil, insira uma probabilidade entre 0 e 1.
5. Revise os resultados: Examine o resultado calculado, a derivação matemática passo a passo e a visualização interativa da distribuição.

Perguntas Frequentes

O que é uma distribuição de probabilidade?

Uma distribuição de probabilidade é uma função matemática que descreve a probabilidade de diferentes resultados possíveis para uma variável aleatória. Ela pode ser discreta (como Binomial ou Poisson) para resultados contáveis, ou contínua (como Normal ou Exponencial) para resultados que podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo.

Qual é a diferença entre PDF e CDF?

A PDF (Função de Densidade de Probabilidade) ou PMF (Função de Massa de Probabilidade) fornece a densidade de probabilidade em um ponto específico. Para distribuições discretas, a PMF fornece a probabilidade exata P(X=k). A CDF (Função de Distribuição Acumulada) fornece a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um valor: P(X≤x). A CDF é a soma cumulativa ou integral da PDF/PMF.

Quando devo usar a distribuição Normal?

A distribuição Normal é apropriada para dados contínuos que são distribuídos simetricamente em torno de um valor médio. É comumente usada para fenômenos como alturas, pontuações de testes, erros de medição e muitas variáveis biológicas. O Teorema do Limite Central afirma que as médias amostrais tendem à distribuição normal, independentemente da distribuição da população.

O que é uma função quantil?

A função quantil (também chamada de CDF inversa ou função de ponto percentual) encontra o valor x tal que P(X≤x) = p para uma dada probabilidade p. Por exemplo, o 95º percentil (p=0,95) de uma distribuição é o valor abaixo do qual caem 95% das observações.

Como escolher entre diferentes distribuições?

Escolha com base nas características dos seus dados: Normal para dados contínuos simétricos em torno de uma média; Binomial para contar sucessos em tentativas fixas; Poisson para contar eventos raros em um intervalo fixo; Exponencial para o tempo entre eventos; Uniforme para probabilidade igual em um intervalo; Qui-Quadrado para testes de variância; t de Student para pequenas amostras com variância populacional desconhecida.

Recursos Adicionais

• Distribuição de Probabilidade - Wikipedia
• Distribuição Normal - Wikipedia
• Estatística e Probabilidade - Khan Academy