Calculadora da Conjectura de Collatz

Bem-vindo à Calculadora da Conjectura de Collatz, uma ferramenta interativa para explorar um dos mais fascinantes problemas não resolvidos da matemática. Insira qualquer número inteiro positivo e observe como a sequência de granizo se desenrola através de uma série de regras simples até atingir inevitavelmente o ciclo 4 → 2 → 1. O gráfico de trajetória interativo, o detalhamento passo a passo e as estatísticas abrangentes ajudam você a visualizar e entender o comportamento surpreendente da sequência de Collatz.

O que é a Conjectura de Collatz?

A conjectura de Collatz, também conhecida como o problema 3n+1, o problema de Syracuse ou o problema do granizo, é um dos problemas não resolvidos mais famosos da matemática. Foi proposta pela primeira vez pelo matemático alemão Lothar Collatz em 1937.

A conjectura afirma: Comece com qualquer número inteiro positivo n. Se n for par, divida-o por 2. Se n for ímpar, multiplique por 3 e some 1. Repita este processo. A conjectura afirma que, não importa qual número inicial você escolha, a sequência eventualmente sempre chegará a 1.

As Regras de Collatz

Começando por qualquer número inteiro positivo \(n\), a aplicação repetida de \(f\) produz uma sequência chamada sequência de granizo (ou sequência de Collatz). A conjectura afirma que esta sequência sempre chega a 1, após o que entra no ciclo 1 → 4 → 2 → 1.

Por que é Chamada de Sequência de Granizo?

A sequência é chamada de sequência de granizo porque os valores sobem e descem erraticamente, como uma pedra de granizo que é soprada para cima e para baixo dentro de uma nuvem de tempestade antes de finalmente cair no chão. Quando um número ímpar é triplicado e incrementado, o valor dispara; quando números pares são reduzidos à metade, o valor cai. Eventualmente, o "granizo" atinge o solo — o número 1.

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira um número inicial: Digite qualquer número inteiro positivo no campo de entrada. Tente os exemplos rápidos para valores iniciais famosos como 27 ou 871.
2. Gere a sequência: Clique em "Gerar Sequência" para calcular a sequência completa de granizo.
3. Explore a trajetória: O gráfico interativo mostra o valor em cada passo. Alterne entre a escala linear e logarítmica para uma melhor visualização de picos extremos.
4. Revise as estatísticas: Verifique o tempo de parada, o valor de pico, a razão de crescimento e as contagens de passos pares/ímpares.
5. Estude passo a passo: A tabela detalhada mostra cada operação aplicada em cada etapa, com codificação de cores para passos pares (n/2) e ímpares (3n+1).

Entendendo os Resultados

Estatísticas Principais

• Tempo de Parada: O número total de passos para chegar a 1. Também chamado de tempo total de parada.
• Valor de Pico: O número mais alto atingido durante a sequência. Pode ser surpreendentemente grande mesmo para valores iniciais pequenos.
• Razão de Crescimento: A razão entre o valor de pico e o valor inicial. Mostra quanto a sequência "cresce" antes de descer.
• Passos Pares: Número de vezes que n/2 foi aplicado (valores que eram pares).
• Passos Ímpares: Número de vezes que 3n+1 foi aplicado (valores que eram ímpares).

Gráfico de Trajetória da Sequência

O gráfico interativo visualiza a sequência de granizo com três pontos destacados:

• Ponto verde — Valor inicial
• Ponto vermelho — Valor de pico (ponto mais alto)
• Ponto dourado — Valor final (1)

Para sequências com picos muito grandes, mude para a escala logarítmica para ver a forma geral com mais clareza.

Exemplos Famosos

O Número 27

O número 27 é talvez o valor inicial mais famoso na pesquisa da conjectura de Collatz. Apesar de ser um número pequeno, produz uma sequência de 111 passos e atinge um pico de 9.232 — mais de 341 vezes o seu valor inicial. Esse comportamento dramático o torna um exemplo clássico da imprevisibilidade da conjectura.

Recordistas de Sequências Mais Longas

Propriedades Matemáticas

Razão entre Passos Pares e Ímpares

Em uma sequência de Collatz típica, os passos pares (n/2) superam significativamente os passos ímpares (3n+1). Isso ocorre porque cada passo ímpar produz um número par (3n+1 é sempre par quando n é ímpar), que é imediatamente reduzido à metade. Em média, a proporção de passos pares para ímpares é de aproximadamente 2:1, o que é um argumento heurístico de por que as sequências tendem a diminuir no geral.

O Ciclo 4-2-1

Cada sequência de Collatz que atinge 1 entra no ciclo: 1 → 4 → 2 → 1. A conjectura pode ser declarada de forma equivalente como: "Não há outro ciclo", o que significa que nenhum número inicial entra em um ciclo que não inclua 1, e nenhuma sequência diverge para o infinito.

Verificação Computacional

A conjectura de Collatz foi verificada computacionalmente para todos os valores iniciais até aproximadamente \(2,95 \times 10^{20}\) (em 2020). Embora isso seja uma evidência forte, não constitui uma prova.

História e Pesquisas Notáveis

• 1937: Lothar Collatz propôs a conjectura pela primeira vez enquanto estudava na Universidade de Hamburgo.
• Década de 1970: O problema ganhou ampla atenção na comunidade matemática e adquiriu muitos nomes (Syracuse, Ulam, Kakutani).
• 1985: Jeffrey Lagarias publicou um levantamento abrangente e mostrou conexões com a teoria dos números e sistemas dinâmicos.
• 2019: Terence Tao provou que "quase todas" as órbitas de Collatz atingem valores quase limitados, o resultado parcial mais forte em direção à conjectura até hoje.

Paul Erdős disse a famosa frase sobre a conjectura de Collatz: "A matemática pode não estar pronta para tais problemas."

Perguntas Frequentes

O que é a conjectura de Collatz?

A conjectura de Collatz (também conhecida como o problema 3n+1) afirma que, para qualquer número inteiro positivo, se você aplicar repetidamente a regra "se for par, divida por 2; se for ímpar, multiplique por 3 e some 1", a sequência eventualmente sempre chegará a 1. Apesar de suas regras simples, esta conjectura permanece não provada desde que Lothar Collatz a propôs pela primeira vez em 1937.

O que é uma sequência de granizo?

Uma sequência de granizo (também chamada de sequência de Collatz) é a série de números produzida pela aplicação repetida das regras de Collatz a um número inicial até chegar a 1. É chamada de sequência de "granizo" porque os valores sobem e descem como uma pedra de granizo em uma nuvem antes de eventualmente cair no chão (chegar a 1).

O que é o tempo de parada na conjectura de Collatz?

O tempo de parada (ou tempo total de parada) é o número de passos que um número inicial leva para chegar a 1 em sua sequência de Collatz. Por exemplo, começando em 27, o tempo de parada é de 111 passos. O tempo de parada varia muito entre diferentes números iniciais e não segue um padrão simples.

Por que 27 é um número famoso na conjectura de Collatz?

O número 27 é famoso na pesquisa da conjectura de Collatz porque, apesar de ser relativamente pequeno, produz uma sequência surpreendentemente longa de 111 passos e atinge um valor de pico de 9.232 — mais de 341 vezes o seu valor inicial. Isso o torna um exemplo clássico de quão imprevisível a sequência de Collatz pode ser.

A conjectura de Collatz já foi provada?

Não, a conjectura de Collatz não foi provada até 2024. Ela foi verificada computacionalmente para todos os valores iniciais até aproximadamente \(2,95 \times 10^{20}\), mas uma prova matemática geral permanece evasiva. Em 2019, Terence Tao provou que a conjectura é verdadeira para "quase todos" os números em um sentido teórico de medida.

Qual é a sequência de Collatz mais longa para números pequenos?

Entre os números abaixo de 1.000, o número 871 tem a sequência de Collatz mais longa com 178 passos. Abaixo de 10.000 é 6.171 com 261 passos. Abaixo de 100.000 é 77.031 com 350 passos. Abaixo de 1.000.000, o recordista é 837.799 com 524 passos.

Recursos Adicionais

• Conjectura de Collatz - Wikipedia
• Sequência de Granizo - Wikipedia