萬有引力計算機

萬有引力計算機套用牛頓萬有引力定律，計算任意兩質量之間的吸引力——從放在地上的蘋果，到繞太陽運行的地球。輸入兩質量與彼此距離即可求力，也可改寫方程求解某一質量或分離距離。除答案外，你還會得到雙體吸引動畫示意圖、平方反比力曲線、各物體加速度，以及把抽象牛頓值轉成可想像情境的白話對照。

牛頓萬有引力定律

1687 年，艾薩克·牛頓提出每一質量都吸引其他每一質量，力的大小隨質量乘積增大，並隨距離平方減小。同一條定律同時支配掉落的蘋果與行星運動——因此稱為萬有。

其中：

• \(F\) 為兩物體之間的萬有引力，單位為牛頓 (N)
• \(m_1\) 與 \(m_2\) 為兩質量，單位為公斤 (kg)
• \(r\) 為兩中心之間的距離，單位為公尺 (m)
• \(G\) 為引力常數，\(6.6743 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2\)

改寫公式

定律連結四個量，已知其中三個即可求第四個。本計算機會為你完成代數推導：

為什麼重力感覺「單向」

依牛頓第三定律，兩物體以完全相同的力互相拉扯。但地球顯然不會朝掉落的蘋果猛衝過去。原因在加速度：由於 \(a = F/m\)，相同的力讓小蘋果產生極大加速度，對巨大地球卻幾乎可忽略。本計算機同時顯示兩邊加速度，讓這種不對稱一目了然。

平方反比定律

分母中的 \(r^2\) 表示重力隨距離迅速變弱。距離變為兩倍，力降為四分之一；三倍則降為九分之一。結果區的力曲線正是畫出這種衰減，並標出你自己的情境。

引力常數 G

\(G\) 是自然界的基本常數之一，也是最難精密測量的之一。其極小的數值——約 \(6.67 \times 10^{-11}\)—正是重力在四種基本作用力中最弱、且只有在天文級質量下才佔主導的原因。

什麼會影響萬有引力？

如何使用本計算機

1. 選擇要求解的量：萬有引力、某一質量，或兩物體之間的距離。
2. 輸入已知數值：填入各質量與距離並選擇單位——從公克、公尺到太陽質量、光年皆可。
3. 點擊計算：工具會套用牛頓定律並求解未知量。
4. 檢視結果：查看吸引示意圖、平方反比曲線、各物體加速度、白話體重對照，以及完整逐步解法。

常見問題

萬有引力的公式是什麼？

牛頓萬有引力定律指出，兩質量之間的力為 F = G × m₁ × m₂ / r²，其中 m₁ 與 m₂ 為公斤為單位的兩質量，r 為兩中心距離（公尺），G 為引力常數 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²。

什麼是引力常數 G？

G 是萬有引力常數，約等於 6.6743 × 10⁻¹¹ 牛頓·公尺平方／公斤平方。它決定宇宙中重力的強度，且處處相同，因此此定律稱為萬有。

為什麼日常物體之間的萬有引力這麼小？

因為 G 極小，重力只有在至少一個質量極大（如行星或恆星）時才明顯。兩人相距一公尺時，彼此吸引約 3 × 10⁻⁷ 牛頓，遠小到感覺不到；地球對你拉力很大，只因地球質量約 6 × 10²⁴ 公斤。

這台計算機能求解質量或距離嗎？

可以。使用「求解」選單改寫牛頓定律。你可由兩質量與距離求萬有引力，或在已知力時反推某一質量或分離距離。

萬有引力是否取決於物體的大小？

此公式將物體視為質點，因此只取決於質量與中心距離，與實際尺寸或形狀無關。對行星、恆星等球對稱物體，此質點近似是精確的。

可以使用哪些單位？

質量可輸入公克、公斤、公噸、地球質量或太陽質量；距離可輸入公尺、公里、天文單位或光年。計算機內部會全部換算成 SI 單位，因此可自由混用例如公斤與光年。

延伸資源

• 牛頓萬有引力定律 - Wikipedia
• 引力常數 - Wikipedia