喬列斯基分解計算機
將對稱正定矩陣分解為 A = LLᵀ，並逐步顯示下三角矩陣 L 的計算過程。可核對每個元素的推導公式，並以圖示檢視分解結果。
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喬列斯基分解計算機
喬勒斯基分解計算機（Cholesky Decomposition Calculator）將對稱正定矩陣 A 分解為下三角矩陣 L 與其轉置 Lᵀ 的乘積，即 A = LLᵀ。此分解是數值線性代數的基礎方法，利用輸入矩陣的對稱性與正定性，效率約為一般 LU 分解的兩倍。本計算機提供動畫式逐步推導、互動式儲存格高亮，以及自動驗證 LLᵀ 是否能還原出 A。
How Cholesky Decomposition Works
給定一個 n×n 的對稱正定矩陣 A，此演算法逐欄計算 L。對於每一欄 j：
Diagonal element:
$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$
Off-diagonal elements (for i > j):
$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$
此演算法由左至右逐欄進行。每個對角線元素都涉及開平方根，當 A 為正定矩陣時，根號內必為實數且為正值。若根號內出現負值，代表該矩陣不是正定矩陣。
Conditions for Cholesky Decomposition
| Condition | Requirement | What Happens If Violated |
|---|---|---|
| Symmetric | A = Aᵀ (A[i,j] = A[j,i]) | Decomposition is undefined |
| Positive-Definite | All eigenvalues > 0 | Negative under square root |
| Square | n×n matrix | Not applicable to rectangular |
Key Properties
如何使用喬勒斯基分解計算機
- 選擇矩陣大小——可選擇 2×2 到 6×6。喬勒斯基分解要求矩陣必須是方陣。
- 輸入數值——填入矩陣的各個儲存格。計算機會自動沿對角線鏡射輸入值以維持對稱性（編輯 A[i,j] 會自動同步設定 A[j,i]）。
- 點擊「分解」——按下「Decompose A = LLᵀ」按鈕以計算分解結果。
- 檢視結果——查看以顏色標示的等式 A = L × Lᵀ。點擊 L 中的任一儲存格即可查看其推導公式。使用「Play All」可自動逐步演示每個元素的計算過程。
- 驗證——計算機會將 L × Lᵀ 相乘還原，並回報最大誤差，確認分解結果正確無誤。
Real-World Applications
Cholesky vs Other Decompositions
| Method | Factorization | Requirements | Complexity |
|---|---|---|---|
| Cholesky | A = LLᵀ | Symmetric positive-definite | n³/3 |
| LU | A = LU (or PA = LU) | Invertible | 2n³/3 |
| QR | A = QR | Any matrix | 2n³/3 (Householder) |
| SVD | A = UΣVᵀ | Any matrix | ~11n³/3 |
| Eigendecomposition | A = QΛQᵀ | Symmetric | ~9n³ |
Frequently Asked Questions
What is Cholesky decomposition?
喬勒斯基分解（以 Andre-Louis Cholesky 命名）將對稱正定矩陣 A 分解為 A = LLᵀ，其中 L 是對角線元素皆為正值的下三角矩陣。這是現有矩陣分解方法中效率最高、數值最穩定的方法之一。
When can Cholesky decomposition be applied?
該矩陣必須是對稱矩陣（A = Aᵀ）且為正定矩陣（所有特徵值皆嚴格為正，或等價地，對任意非零向量 x 皆有 xᵀAx > 0）。常見例子包括共變異數矩陣、相關係數矩陣、格拉姆矩陣（滿秩 X 的 XᵀX），以及結構工程中的勁度矩陣。
What if my matrix is not positive-definite?
若矩陣不是正定矩陣，分解過程中會在某個平方根內出現負值，這並非實數。計算機會回報錯誤，並明確指出是哪一個對角線步驟失敗。您可以檢查矩陣是否有對稱性錯誤，或考慮改用適用於半正定矩陣的 LDLᵀ 分解。
喬勒斯基分解如何用於求解線性方程組？
要求解 Ax = b，首先將 A 分解為 A = LLᵀ。接著透過前向代入求解 Ly = b（因為 L 為下三角矩陣），再透過後向代入求解 Lᵀx = y。由於 L 與 Lᵀ 共用相同資料，這種方法的速度約為透過 LU 分解求解的兩倍。
喬勒斯基分解與行列式之間有什麼關係？
由於 A = LLᵀ，因此 det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)²。而由於 L 是三角矩陣，det(L) 就是其對角線元素的乘積。這提供了一種計算正定矩陣行列式的高效方法。
喬勒斯基分解可以套用在複數矩陣上嗎？
可以，對於複數矩陣，條件是 A 必須為埃爾米特正定矩陣（A = A*，其中 A* 為共軛轉置）。此時分解形式變為 A = LLᵀ，其中 Lᵀ 由 L*（L 的共軛轉置）取代。本計算機僅處理實數矩陣。
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by miniwebtool team. Updated: 2026-04-12
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