连分数计算器

欢迎使用 连分数计算器 —— 这是一个强大的工具，可将任何小数、分数或平方根转换为其连分数表示形式。查看著名的记法 [a₀; a₁, a₂, ...]，探索有理逼近（收敛值），并以交互方式直观地查看嵌套分数结构。

什么是连分数？

连分数是一种将数字表示为嵌套的整数部分和分数序列的方法：

其中 a₀, a₁, a₂, ... 是非负整数，称为部分商。标准记法为 [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]。一些著名的例子：

• π (圆周率) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] —— 其中 292 意味着派可以用 355/113 极其精确地近似
• φ (黄金比例) = [1; 1, 1, 1, ...] —— 收敛速度最慢的连分数
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] —— 循环连分数，正如拉格朗日定理所预测的那样
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] —— 优美的规律

算法原理

对于任何小数 x

1. 计算 a₀ = ⌊x⌋（x 的地板函数值）
2. 设 x₁ = 1/(x − a₀)，然后计算 a₁ = ⌊x₁⌋
3. 重复：xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ)，aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. 当分数部分为零（有理数）或项数足够时停止

对于分数 p/q（欧几里得算法）

对于分数，该算法与求最大公约数（GCD）的欧几里得算法完全一致：

欧几里得算法的每个除法步骤都会产生连分数的一个部分商。

收敛值：最佳有理逼近

收敛值 pₙ/qₙ 是通过在每一步截断连分数得到的。它们满足一个显著的特性：pₙ/qₙ 是分母 ≤ qₙ 的情况下对 x 的最佳有理逼近。

循环连分数

根据拉格朗日定理，一个实数具有循环连分数当且仅当它是一个二次无理数（具有整数系数的二次方程的解）。这包括所有非完全平方数的平方根。

• √2 = [1; 2] —— 周期长度为 1
• √3 = [1; 1, 2] —— 周期长度为 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] —— 周期长度为 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] —— 周期长度为 16

如何使用此计算器

1. 输入一个值：小数（如 2.71828）、分数（如 355/113）或平方根（如 sqrt(7)）
2. 设置最大项数：项数越多，得到的部分商和收敛值就越多
3. 点击计算：查看连分数记法、动画项、嵌套可视化、收敛值表和欧几里得步骤（针对分数）

常见问题解答

什么是连分数？

连分数是形式为 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) 的表达式，其中 a₀, a₁, a₂, ... 是称为部分商的整数。每个实数都有连分数展开。有理数的展开是有限的；无理数的展开是无限的。二次无理数（如平方根）具有循环展开。

如何将小数转换为连分数？

取地板函数值（整数部分）作为第一项。从原数中减去它，取倒数，然后重复。例如，π ≈ 3.14159...：地板值 = 3，余数 = 0.14159...，倒数 = 7.062...，地板值 = 7，余数 = 0.062...，倒数 = 15.996...，地板值 = 15，得到 [3; 7, 15, ...].

为什么 sqrt(2) 具有循环连分数？

根据拉格朗日定理，一个实数当且仅当它是二次无理数时才具有循环连分数。√2 满足 x² = 2，因此它是二次无理数，结果为 [1; 2, 2, 2, ...]。黄金比例 φ = (1 + √5)/2 得到 [1; 1, 1, 1, ...] —— 这是最简单的周期。

什么是收敛值，为什么它们很重要？

收敛值是通过截断连分数获得的分数。它们是最佳有理逼近 —— 没有分母更小的分数比它们更接近目标值。这就是为什么 22/7 和 355/113 是著名的 π 近似值：它们是派的连分数的收敛值。

连分数算法与欧几里得算法有什么关系？

当输入为分数 p/q 时，计算其连分数的过程与欧几里得 GCD 算法完全相同。每个“余数和商”步骤都会产生恰好一个部分商。连分数在找到最大公约数时正好终止。

更多资源

• 连分数 - 维基百科
• 收敛值 - 维基百科
• 欧几里得算法 - 维基百科