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模乘逆元计算器
什么是模乘逆元？
整数 a 关于模数 m 的模乘逆元是一个在 [0, m-1] 范围内的整数 x，使得：
\( a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} \)
它通常写为 a⁻¹ (mod m)，类似于普通算术中的乘法逆元（即 1/a），但应用于模算术领域。
关键条件： 逆元存在的当且仅当 gcd(a, m) = 1 — 也就是说，a 和 m 必须互质。
计算方法：扩展欧几里得算法
最有效的方法是使用扩展欧几里得算法。它能找到满足裴蜀等式的整数 x 和 y：
\( a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m) = 1 \)
当 gcd(a, m) = 1 时，对等式两边取模 m 得到 a·x ≡ 1 (mod m)，因此 x 就是模逆元。
示例： 求 3⁻¹ (mod 7)：
扩展最大公约数计算得出：3·(5) + 7·(-2) = 15 − 14 = 1，因此 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7)。验证：3 × 5 = 15 = 2×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓
在密码学和数学中的应用
RSA 加密
根据公钥指数 e 求解私钥 d = e⁻¹ (mod φ(n))
Diffie-Hellman
基于模算术中离散对数的密钥交换协议
仿射密码
解密过程使用 a⁻¹ (mod 26) 来撤销加密密钥
CRT 与数论
中国剩余定理及求解线性同余方程 ax ≡ b (mod m)
椭圆曲线
ECC 中的点加法公式在计算斜率时需要模逆元
模分数
当 gcd(b, m) = 1 时，将 a/b (mod m) 计算为 a · b⁻¹ (mod m)
常见问题解答
问：为什么逆元并不总是存在？
因为模算术是“循环”的，a 的某些倍数可能永远不会落在 1 mod m 上。这恰好发生在 a 和 m 共享公因数时 — 即 gcd(a, m) > 1。
问：质数模数有计算公式吗？
有的！如果 m 是质数且 a 不是 m 的倍数，费马小定理给出：
a⁻¹ ≡ am-2 (mod m)。这在算法竞赛中经常被使用。
问：结果是唯一的吗？
是的，结果在模 m 下是唯一的。我们始终报告 [0, m-1] 范围内的规范结果。对于任何整数 k，x + km 也是有效的逆元，但它们在模 m 意义下都是等价的。
问：如果 a 是负数怎么办？
该算法可以处理负整数。内部我们会先计算 a (mod m) 得到一个非负代表值，然后再求其逆元。结果始终在 [0, m-1] 范围内。
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由 miniwebtool 团队。更新日期：2026年2月18日
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