交互式单位圆可视化工具

交互式单位圆可视化工具

欢迎使用我们的交互式单位圆可视化工具。该工具专为帮助你理解角度与三角函数之间的关系而设计。通过动态的图形展示，你可以直观地看到 sin、cos、tan 以及它们的倒数函数如何对应单位圆上的点。

什么是单位圆？

单位圆是指以坐标原点 (0, 0) 为圆心、半径为 1 的圆。单位圆是三角学的基础，为三角函数提供了几何解释。

• 半径：始终为 1
• 圆心：位于原点 (0, 0)
• 方程： $$x^2 + y^2 = 1$$

单位圆上的三角函数

对于从正 X 轴逆时针测量的角 $\theta$，单位圆上的点 P 的坐标为：

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

六个三角函数

• 正弦 (sin)： $$\sin\theta = y$$
• 余弦 (cos)： $$\cos\theta = x$$
• 正切 (tan)： $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• 余割 (csc)： $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$（当 $\sin\theta = 0$ 时未定义）
• 正割 (sec)： $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$（当 $\cos\theta = 0$ 时未定义）
• 余切 (cot)： $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

常见角与对应数值

单位圆上存在一些非常重要的“特殊角”，它们的三角函数值值得熟记，尤其是 30° 和 45° 的倍数：

角度（度）	弧度	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	未定义
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	未定义

四个象限

坐标平面被划分为四个象限，不同象限中三角函数的符号各不相同：

• 第一象限 (0–90°)： 所有函数均为正 (A)
• 第二象限 (90–180°)： 只有 sin 和 csc 为正 (S)
• 第三象限 (180–270°)： 只有 tan 和 cot 为正 (T)
• 第四象限 (270–360°)： 只有 cos 和 sec 为正 (C)

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如何使用本工具

1. 在输入框中输入一个角度值。
2. 选择角度单位（度或弧度）。
3. 点击“计算”按钮查看可视化图形及所有三角函数的数值。
4. 可以使用上方的快速链接选择常见角度。

如何解读可视化图形

交互式图形展示了：

• 蓝色圆： 半径为 1 的单位圆
• 红色点： 对应当前角度的单位圆上的点
• 绿色线段： 表示 cos（从原点到投影点的水平距离）
• 蓝色线段： 表示 sin（从原点到投影点的垂直距离）
• 橙色弧线： 从正 X 轴开始的角度弧
• 紫色虚线： 表示切线（tan）所在的直线

单位圆的应用

• 物理学： 波动、振动、圆周运动
• 工程学： 信号处理、交流电路、旋转机械
• 计算机图形学： 旋转、动画、游戏开发
• 导航： GPS 计算、测量与制图
• 音乐： 声波分析、音频合成

参考资料

• 单位圆 - 维基百科
• Unit Circle - Wolfram MathWorld
• 三角函数 - 维基百科