Máy tính đạo hàm riêng

Tính đạo hàm riêng của các hàm nhiều biến với lời giải chi tiết từng bước, ví dụ tương tác và minh họa hình học của các mặt phẳng tiếp diện.

Thử các ví dụ sau

x**2*y + y**3 theo x sin(x*y) hỗn hợp e**(x+y) bậc hai x**2+y**2+z**2 theo x ln(x**2+y**2) hỗn hợp x*y*z đạo hàm riêng cấp ba

f Hàm số f(x, y, ...)

Sử dụng ** cho lũy thừa, sin, cos, exp, log, sqrt cho các hàm số

d Đạo hàm theo biến

x bậc nhất | x:2 bậc hai | x,y hỗn hợp

Embed Máy tính đạo hàm riêng Widget

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm riêng

Chào mừng bạn đến với Máy tính đạo hàm riêng của chúng tôi, một công cụ toàn diện để tính đạo hàm riêng của các hàm nhiều biến với lời giải chi tiết từng bước. Cho dù bạn là sinh viên giải tích đang học về đạo hàm nhiều biến, một kỹ sư đang giải các bài toán tối ưu hóa hay một nhà khoa học làm việc với các phương trình tốc độ thay đổi, máy tính này đều cung cấp kết quả chính xác với các giải thích toán học đầy đủ.

Đạo hàm riêng là gì?

Đạo hàm riêng đo lường mức độ thay đổi của một hàm nhiều biến khi một trong các biến đầu vào của nó thay đổi trong khi tất cả các biến khác được giữ không đổi. Không giống như đạo hàm thông thường áp dụng cho hàm một biến, đạo hàm riêng là nền tảng của giải tích nhiều biến và xuất hiện trong toàn bộ các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế và học máy.

Định nghĩa toán học

Đối với hàm $ f(x, y) $ của hai biến, đạo hàm riêng theo $ x $ được định nghĩa là:

Định nghĩa đạo hàm riêng

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$

Khi tính $ \frac{\partial f}{\partial x} $, chúng ta coi $ y $ là hằng số và chỉ đạo hàm theo biến $ x $. Tương tự, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ coi $ x $ là hằng số.

Các khái niệm chính

1 Đạo hàm riêng bậc nhất

Đạo hàm một lần theo một biến duy nhất trong khi giữ các biến khác không đổi. Đối với $ f(x,y) $, đó là $ f_x $ và $ f_y $.

2 Đạo hàm riêng bậc hai

Đạo hàm hai lần, có thể là $ f_{xx} $, $ f_{yy} $ (thuần túy), hoặc $ f_{xy} $, $ f_{yx} $ (đạo hàm riêng hỗn hợp).

3 Đạo hàm hỗn hợp

Theo định lý Clairaut, nếu các đạo hàm riêng bậc hai là liên tục thì $ f_{xy} = f_{yx} $. Thứ tự đạo hàm không quan trọng.

4 Vectơ Gradient

Gradient $ \nabla f = (f_x, f_y, f_z) $ chỉ theo hướng tăng nhanh nhất. Độ lớn của nó là tốc độ thay đổi tối đa.

Cách sử dụng máy tính này

Nhập hàm số của bạn: Nhập hàm nhiều biến bằng ký hiệu tiêu chuẩn. Ví dụ: x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y.
Chỉ định các biến đạo hàm: Nhập biến cần đạo hàm theo:
- x — đạo hàm bậc nhất theo x
- x:2 — đạo hàm bậc hai theo x
- x,y — đạo hàm riêng hỗn hợp (trước tiên theo x, sau đó theo y)
- x:2,y:1 — bậc hai theo x, bậc nhất theo y
Nhấp vào Tính toán: Máy tính sẽ tính đạo hàm riêng với lời giải chi tiết từng bước cho thấy các quy tắc đạo hàm nào đã được áp dụng.

Các hàm số và cú pháp được hỗ trợ

Loại hàm số	Ví dụ cú pháp	Ghi chú
Lũy thừa	`x2`, `x^3`, `x0.5`	Sử dụng ** hoặc ^ cho số mũ
Lượng giác	`sin(x)`, `cos(y)`, `tan(z)`	Cũng hỗ trợ: sec, csc, cot
Lượng giác ngược	`asin(x)`, `atan(y)`	Cũng hỗ trợ: acos, acot, asec, acsc
Hàm mũ	`exp(x)`, `e**x`	Hàm mũ tự nhiên
Lôgarit	`log(x)`, `ln(x)`	Lôgarit tự nhiên (cơ số e)
Căn bậc hai	`sqrt(x)`, `x**0.5`	Các dạng tương đương
Hàm hyperbolic	`sinh(x)`, `cosh(y)`, `tanh(z)`	Các hàm hyperbolic
Phép nhân	`x*y`, `xy`, `2xy`	Hỗ trợ phép nhân ẩn

Các quy tắc đạo hàm được áp dụng

Máy tính này xác định và hiển thị các quy tắc đạo hàm được sử dụng ở mỗi bước:

Quy tắc lũy thừa: $ \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} $
Quy tắc tổng: $ \frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} $
Quy tắc tích: $ \frac{\partial}{\partial x}(fg) = f\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial f}{\partial x} $
Quy tắc thương: $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial g}{\partial x}}{g^2} $
Quy tắc hàm hợp: $ \frac{\partial}{\partial x}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot \frac{\partial g}{\partial x} $
Quy tắc nhân với hằng số: $ \frac{\partial}{\partial x}(cf) = c\frac{\partial f}{\partial x} $

Ứng dụng của đạo hàm riêng

Gradient và Tối ưu hóa

Các đạo hàm riêng tạo thành vectơ gradient, điều này rất cần thiết để tìm cực đại, cực tiểu và điểm yên ngựa của các hàm nhiều biến. Đặt tất cả các đạo hàm riêng bằng không để xác định các điểm tới hạn.

Vật lý và Kỹ thuật

Đạo hàm riêng mô tả cách các đại lượng vật lý thay đổi: gradient nhiệt độ, điện thế, động lực học chất lưu và phương trình sóng đều dựa trên đạo hàm riêng.

Học máy (Machine Learning)

Các thuật toán giảm gradient sử dụng đạo hàm riêng để cực tiểu hóa các hàm mất mát. Mỗi trọng số trong mạng thần kinh được cập nhật bằng cách sử dụng đạo hàm riêng của hàm mất mát theo trọng số đó.

Kinh tế học

Phân tích biên sử dụng đạo hàm riêng để đo lường sự thay đổi của đầu ra so với một đầu vào (lao động, vốn) trong khi các yếu tố khác được giữ cố định.

Các câu hỏi thường gặp

Đạo hàm riêng là gì?

Đạo hàm riêng đo lường mức độ thay đổi của một hàm nhiều biến khi một biến thay đổi trong khi tất cả các biến khác được giữ không đổi. Đối với hàm f(x,y), đạo hàm riêng theo x, được viết là df/dx, coi y là một hằng số và chỉ đạo hàm theo biến x.

Làm thế nào để tính đạo hàm riêng bậc hai?

Để tính đạo hàm riêng bậc hai, bạn đạo hàm hai lần. Bạn có thể đạo hàm hai lần theo cùng một biến (như d2f/dx2), hoặc theo các biến khác nhau (đạo hàm riêng hỗn hợp như d2f/dxdy). Nhập định dạng như 'x:2' cho đạo hàm bậc hai theo x, hoặc 'x,y' cho đạo hàm hỗn hợp.

Sự khác biệt giữa đạo hàm riêng và đạo hàm thông thường là gì?

Đạo hàm thông thường áp dụng cho các hàm một biến, đo lường tốc độ thay đổi theo biến duy nhất đó. Đạo hàm riêng áp dụng cho các hàm nhiều biến và đo lường tốc độ thay đổi theo một biến trong khi coi tất cả các biến khác là hằng số.

Đạo hàm riêng hỗn hợp là gì?

Đạo hàm riêng hỗn hợp liên quan đến việc đạo hàm theo các biến khác nhau một cách liên tiếp. Ví dụ, d2f/dxdy có nghĩa là trước tiên đạo hàm f theo y, sau đó đạo hàm kết quả theo x. Theo định lý Clairaut, đối với hầu hết các hàm số d2f/dxdy = d2f/dydx.

Làm cách nào để nhập các hàm số vào máy tính?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn: x**2 hoặc x^2 cho lũy thừa, sin(x), cos(x), tan(x) cho các hàm lượng giác, exp(x) hoặc e**x cho hàm mũ, log(x) hoặc ln(x) cho lôgarit tự nhiên, sqrt(x) cho căn bậc hai. Phép nhân có thể là ẩn (xy) hoặc hiện (x*y).

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính đạo hàm riêng" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-đạo-hàm-riêng/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 19 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy Tính Phân Rã CholeskyMới

Máy tính Phân số liên tục

Máy tính Đạo hàm

Máy tính đạo hàm theo hướng

Máy tính đạo hàm ẩn

Máy tính Phân tích LU Ma trận

Máy tính phân tích phân số từng phần

Máy tính công thức bậc haiNổi bật

Máy tính Đạo hàm Biến số đơn

Máy tính đạo hàm riêng

Giới thiệu về Máy tính đạo hàm riêng

Đạo hàm riêng là gì?

Định nghĩa toán học

Các khái niệm chính

1 Đạo hàm riêng bậc nhất

2 Đạo hàm riêng bậc hai

3 Đạo hàm hỗn hợp

4 Vectơ Gradient

Cách sử dụng máy tính này

Các hàm số và cú pháp được hỗ trợ

Các quy tắc đạo hàm được áp dụng

Ứng dụng của đạo hàm riêng

Gradient và Tối ưu hóa

Vật lý và Kỹ thuật

Học máy (Machine Learning)

Kinh tế học

Các câu hỏi thường gặp

Đạo hàm riêng là gì?

Làm thế nào để tính đạo hàm riêng bậc hai?

Sự khác biệt giữa đạo hàm riêng và đạo hàm thông thường là gì?

Đạo hàm riêng hỗn hợp là gì?

Làm cách nào để nhập các hàm số vào máy tính?

Tài nguyên bổ sung

Các công cụ liên quan khác:

Giải tích:

Công cụ nổi bật: