Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny

Q: Jaki jest wzór na odległość punktu od płaszczyzny?

Odległość prostopadła punktu P(x₀, y₀, z₀) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 jest dana wzorem d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Wzór ten wyznacza najkrótszą (prostopadłą) odległość punktu od płaszczyzny.

Q: Co to jest rzut prostopadły punktu na płaszczyznę?

Rzut prostopadły (spodek prostopadłej) to punkt na płaszczyźnie, który znajduje się najbliżej danego punktu. Wyznacza się go poprzez rzutowanie punktu na płaszczyznę wzdłuż kierunku wektora normalnego. Jeśli P to punkt, a n to wektor normalny, to Rzut = P - t·n, gdzie t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²).

Q: Co oznacza odległość zorientowana punktu od płaszczyzny?

Odległość zorientowana wskazuje, po której stronie płaszczyzny znajduje się punkt. Dodatnia wartość oznacza, że punkt leży po tej samej stronie co wektor normalny płaszczyzny, natomiast wartość ujemna oznacza stronę przeciwną. Jeśli odległość wynosi zero, punkt leży dokładnie na płaszczyźnie.

Q: Jak zdefiniować równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?

Równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 jest zdefiniowane przez cztery współczynniki: A, B, C (składowe wektora normalnego do płaszczyzny) oraz D (stała określająca położenie płaszczyzny). Dowolne trzy niewspółliniowe punkty mogą zdefiniować płaszczyznę, lub równoważnie – wektor normalny i punkt należący do płaszczyzny.

Q: Czy ten wzór działa dla 2D (odległość punktu od prostej)?

Tak, wzór d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) jest analogiem 2D dla odległości punktu (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0. Wzór 3D dla odległości punktu od płaszczyzny jest bezpośrednim uogólnieniem tej koncepcji.

Oblicz najkrótszą prostopadłą odległość punktu (x₀, y₀, z₀) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Uzyskaj rozwiązanie krok po kroku, rzut punktu na płaszczyznę, interaktywną wizualizację 3D i analizę geometryczną.

Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny

Wypróbuj przykład:

Podstawowy (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 Początek układu → płaszczyzna z=5 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0

P Współrzędne punktu

x₀

y₀

z₀

π Równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0

Ax + By + Cz + D = 0

Precyzja:

Embed Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny Widget

O Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny

Witaj w Kalkulatorze odległości punktu od płaszczyzny — interaktywnym narzędziu do geometrii 3D, które oblicza najkrótszą odległość prostopadłą punktu od płaszczyzny. Narzędzie oferuje wzory krok po kroku, wyznacza spodek prostopadłej (rzut punktu), udostępnia interaktywną wizualizację 3D oraz szczegółową analizę geometryczną. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem, inżynierem czy entuzjastą matematyki, to narzędzie sprawia, że obliczenia w przestrzeni 3D stają się natychmiastowe i czytelne.

Wzór na odległość punktu od płaszczyzny

Prostopadła (najkrótsza) odległość punktu $P(x_0, y_0, z_0)$ od płaszczyzny $Ax + By + Cz + D = 0$ wynosi:

Odległość punktu od płaszczyzny

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Gdzie:

$A, B, C$ to składowe wektora normalnego do płaszczyzny
$D$ to wyraz wolny w równaniu płaszczyzny
$(x_0, y_0, z_0)$ to współrzędne punktu
Mianownik $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ to długość (norma) wektora normalnego

Zrozumienie wzoru

Dlaczego ten wzór działa?

Wzór na odległość wynika z rzutu wektora łączącego dowolny punkt płaszczyzny z punktem P na jednostkowy wektor normalny płaszczyzny. Jeśli Q jest dowolnym punktem na płaszczyźnie, to odległość prostopadła wynosi:

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

Ponieważ $\vec{n} = (A, B, C)$, a każdy punkt Q na płaszczyźnie spełnia równanie $Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0$, iloczyn skalarny upraszcza się do $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$.

Odległość zorientowana

Usuwając wartość bezwzględną, otrzymujemy odległość zorientowaną:

Odległość zorientowana

$$d_{\text{zorientowana}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Dodatnia: Punkt znajduje się po tej samej stronie co wektor normalny
Ujemna: Punkt znajduje się po przeciwnej stronie
Zero: Punkt leży dokładnie na płaszczyźnie

Rzut prostopadły (Spodek prostopadłej)

Rzut prostopadły to punkt na płaszczyźnie leżący najbliżej danego punktu. Można go znaleźć, przesuwając się z punktu P wzdłuż ujemnego kierunku normalnego o dystans równy odległości zorientowanej:

Rzut prostopadły (Stopka)

$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

Gdzie $\vec{n} = (A, B, C)$ jest wektorem normalnym. Parametr $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$ reprezentuje odległość (wielokrotność wektora normalnego), jaką musimy przebyć z punktu P, aby dotrzeć do płaszczyzny.

Jak korzystać z kalkulatora

Wprowadź współrzędne punktu: Wpisz x₀, y₀, z₀ dla punktu w przestrzeni 3D. Obsługiwane są liczby ujemne i dziesiętne.
Wprowadź równanie płaszczyzny: Wpisz A, B, C, D dla płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0. Przynajmniej jeden ze współczynników A, B, C musi być różny od zera.
Ustaw precyzję: Wybierz liczbę miejsc po przecinku dla wyników.
Kliknij Oblicz: Zobacz odległość, rzut punktu, wektor normalny, rozwiązanie krok po kroku oraz interaktywną wizualizację 3D.
Interakcja z widokiem 3D: Przeciągnij wizualizację, aby obracać i badać relacje geometryczne.

Powiązane wzory na odległość

Wzór	Opis	Wymiar
Punkt do płaszczyzny	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D
Punkt do prostej (2D)	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}$	2D
Punkt do punktu	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	3D
Płaszczyzny równoległe	$d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3D

Powszechne zastosowania

Grafika komputerowa i tworzenie gier

Odległość punktu od płaszczyzny jest fundamentem w wykrywaniu kolizji, określaniu, czy obiekty przecinają się z powierzchniami. Jest również używana w frustum culling (odrzucaniu obiektów poza polem widzenia) oraz w algorytmach shadow mappingu.

Inżynieria i CAD

Inżynierowie używają tych obliczeń do analizy tolerancji, pomiaru odchyleń powierzchni oraz kontroli jakości w produkcji. Maszyny CNC polegają na odległości punkt-płaszczyzna przy obliczaniu ścieżek narzędzi.

Fizyka i nawigacja

W fizyce wzór ten pomaga obliczyć odległość od ładunku punktowego do płaszczyzny przewodzącej lub wysokość samolotu nad pochyłym terenem. Systemy GPS wykorzystują podobne obliczenia do pozycjonowania względem płaszczyzn odniesienia.

Uczenie maszynowe i Data Science

W maszynach wektorów nośnych (SVM), margines między klasami jest obliczany jako odległość od punktów danych do hiperpłaszczyzny rozdzielającej. Koncepcja ta rozszerza się naturalnie z wzoru 3D na wyższe wymiary.

Często zadawane pytania

Jaki jest wzór na odległość punktu od płaszczyzny?

Prostopadła odległość punktu P(x₀, y₀, z₀) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 to d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Daje to najkrótszą odległość, która jest zawsze prostopadła do płaszczyzny.

Co to jest rzut prostopadły punktu na płaszczyznę?

Rzut prostopadły to najbliższy punkt na płaszczyźnie względem danego punktu. Znajduje się go rzutując punkt na płaszczyznę wzdłuż wektora normalnego: F = P − t·n, gdzie t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) i n = (A, B, C).

Co oznacza odległość zorientowana punktu od płaszczyzny?

Odległość zorientowana wskazuje stronę płaszczyzny. Wartość dodatnia oznacza tę samą stronę co wektor normalny, ujemna – przeciwną, a zero oznacza, że punkt leży na płaszczyźnie. Jest to przydatne w wykrywaniu kolizji i klasyfikacji przestrzeni.

Jak zdefiniować równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?

Współczynniki A, B, C tworzą wektor normalny, a D określa położenie płaszczyzny. Mając punkt Q na płaszczyźnie i normalną (A, B, C), D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q). Równanie można też wyprowadzić z trzech punktów za pomocą iloczynu wektorowego.

Czy ten wzór działa dla 2D (odległość punktu od prostej)?

Tak! Analogiem 2D dla odległości punktu (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 jest d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Wzór 3D jest bezpośrednim rozszerzeniem tej koncepcji.

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 18 lutego 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny

Blokada reklam uniemożliwia wyświetlanie reklam

O Kalkulator odległości punktu od płaszczyzny

Wzór na odległość punktu od płaszczyzny

Zrozumienie wzoru

Dlaczego ten wzór działa?

Odległość zorientowana

Rzut prostopadły (Spodek prostopadłej)

Jak korzystać z kalkulatora

Powiązane wzory na odległość

Powszechne zastosowania

Grafika komputerowa i tworzenie gier

Inżynieria i CAD

Fizyka i nawigacja

Uczenie maszynowe i Data Science

Często zadawane pytania

Jaki jest wzór na odległość punktu od płaszczyzny?

Co to jest rzut prostopadły punktu na płaszczyznę?

Co oznacza odległość zorientowana punktu od płaszczyzny?

Jak zdefiniować równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0?

Czy ten wzór działa dla 2D (odległość punktu od prostej)?

Dodatkowe zasoby

Polecane narzędzia:

Wzór	Opis	Wymiar
Punkt do płaszczyzny	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D
Punkt do prostej (2D)	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)	2D
Punkt do punktu	\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)	3D
Płaszczyzny równoległe	\(d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3D