ガウス分布ジェネレーター

ガウス分布ジェネレーター

ガウス分布ジェネレーターは、正規分布（ガウス分布）、別名ベルカーブ（釣鐘曲線）に従う乱数を生成します。すべての値に等しい確率を与える一様乱数生成器とは異なり、このツールは中心の平均値付近に集まる数値を生成し、値が中心から離れるにつれて確率は減少します。

ガウス（正規）分布とは？

数学者カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられたガウス分布は、統計学や自然科学で最も重要な確率分布の一つです。これは値が中心となる平均の周りにどのように分布するかを記述し、特徴的な「ベルカーブ」形状を作り出します。

この分布は2つのパラメータによって定義されます：

• 平均 (μ): ピークが発生する分布の中心です。これは数値が集まる平均的な値です。
• 標準偏差 (σ): 分布の広がりやばらつきを測ります。σが大きいほど値は広く分散し、σが小さいほど値は平均の周りに密集します。

68-95-99.7ルール（経験則）

正規分布の最も有用な特性の一つは、以下の経験則です：

• 値の68%は、平均の1標準偏差以内（μ ± σ）に含まれます
• 値の95%は、平均の2標準偏差以内（μ ± 2σ）に含まれます
• 値の99.7%は、平均の3標準偏差以内（μ ± 3σ）に含まれます

このルールは、生成された数値の何パーセントが特定の範囲内に収まるかを予測するのに役立ちます。

ガウス分布ジェネレーターの使い方

1. 平均 (μ) を設定: 分布の中心値を入力します。標準正規分布の場合は0、IQスコアの場合は100を使用します。テストの点数であれば75などを使用します。
2. 標準偏差 (σ) を設定: 値の広がり具合を入力します。標準正規分布の場合は1、IQスコアの場合は15を使用します。値が大きいほど分布は広くなります。
3. 個数を選択: 生成する乱数の数（1～10,000）を選択します。
4. 小数点以下の桁数を選択: 0（整数）から6桁までの精度を選択します。
5. 任意のシード: 再現可能な結果を得るためのシード値を入力します。同じシードとパラメータであれば、同じ数値が生成されます。
6. 生成: ボタンをクリックして乱数を生成し、可視化を表示します。

統計情報の理解

基本統計量

• 標本平均: 生成されたすべての数値の平均です。サンプルサイズが大きい場合、入力した平均値に近くなるはずです。
• 標本標準偏差: サンプルの計算された標準偏差です。サンプルサイズが大きくなるにつれて、入力したσに近づくはずです。
• 中央値: 数値を並べ替えたときの中央の値です。正規分布の場合、これは平均値に近い値になります。
• 最小値/最大値: サンプル内の最小および最大の値です。

高度な統計

• 歪度（わいど）: 分布の非対称性を測ります。0に近い値は対称を示します。正の歪度は右側の裾が長いこと、負は左側の裾が長いことを意味します。
• 尖度（せんど）: 分布の「裾の重さ」を測ります。0に近い値は正規分布の裾の挙動を示します。正の値はより重い裾、負の値はより軽い裾を意味します。
• パーセンタイル (5%, 25%, 75%, 95%): データの特定の割合がその値以下になる点です。

一般的な用途

シミュレーションとモデリング

ガウス乱数は、自然な変動をモデル化する必要があるモンテカルロシミュレーション、金融モデリング、リスク分析、科学シミュレーションに不可欠です。

機械学習とAI

ニューラルネットワークの重みは、しばしばガウス分布を使用して初期化されます。データ拡張のためのノイズ注入も、一般的に正規分布を使用します。

統計的検定

統計手法のテスト、仮説検定、または中心極限定理の概念を実証するためのサンプルデータを生成します。

自然現象のモデリング

人間の身長、測定誤差、テストの点数、血圧測定値など、多くの自然現象は正規分布に従います。

品質管理

製品の寸法が目標値の周りで既知の公差を持って変動する製造プロセスをシミュレートします。

正規分布の例

• 標準正規分布 (μ=0, σ=1): Zスコア計算や統計表で使用される参照分布です。
• IQスコア (μ=100, σ=15): 知能指数は、これらのパラメータを持つ正規分布に従うように設計されています。
• 人間の身長: 米国の成人男性の身長は、概ね N(μ=175cm, σ=7cm) に近似します。
• SATスコア (μ=1060, σ=217): 大学入試のスコアは、ほぼ正規分布に従います。

再現性のための乱数シード

任意の乱数シード機能を使用すると、乱数のシーケンスを再現できます。これは以下の場合に価値があります：

• 科学研究: 実験が正確に再現可能であることを保証します。
• デバッグ: 同じランダムシーケンスを再現して問題をデバッグします。
• 結果の共有: シードを使用して他の人が同一のデータを生成できます。
• テスト: 既知のランダム入力を使用して一貫したテストケースを作成します。

生成ごとに異なる結果を得る真のランダム性の場合は、シードフィールドを空のままにしてください。

よくある質問

ガウス（正規）分布とは何ですか？

ガウス分布または正規分布は、平均を中心に対称となる確率分布であり、平均に近いデータが平均から遠いデータよりも頻繁に発生することを示します。これは有名な「ベルカーブ（釣鐘型）」の形状を作ります。値の約68%が平均の1標準偏差内に、95%が2標準偏差内に、99.7%が3標準偏差内に収まります。

平均と標準偏差は何を表していますか？

平均（μ）は分布の中心であり、ベルカーブの頂点となります。標準偏差（σ）は数値のばらつき具合を測ります。標準偏差が大きいほどばらつきが大きく（ベルカーブが広くなる）、標準偏差が小さいほど値が平均の近くに集まります（ベルカーブが狭くなる）。

ランダムシードオプションは何のためのものですか？

ランダムシードを使用すると、再現可能な結果を生成できます。同じパラメータで同じシードを使用すると、まったく同じ乱数列が生成されます。これは、科学実験、デバッグ、または複数回の実行で一貫した結果が必要な場合に役立ちます。

ガウス乱数はどのように使用できますか？

ガウス乱数は、シミュレーション、統計モデリング、モンテカルロ法、機械学習、信号処理、金融モデリングで使用されます。身長、テストの点数、測定誤差、株価の動きなど、正規分布に従うことが多い自然現象をシミュレートできます。

統計における歪度と尖度とは何ですか？

歪度（わいど）は分布の非対称性を測ります。0に近い値は対称を示します。正の歪度は右側の裾が長いこと、負は左側の裾が長いことを意味します。尖度（過剰尖度）は、正規分布と比較して裾がどれだけ重いかを測ります。0に近い値は通常の裾の重さを示し、正の値はより重い裾、負の値はより軽い裾を意味します。

技術的な詳細

このジェネレーターは、Pythonの random.gauss() 関数を使用しています。これは、一様分布の乱数を正規分布の乱数に変換するボックス＝ミュラー法（Box-Muller transform）を実装しています。アルゴリズムは以下の通りです：

1. (0, 1) の範囲で2つの独立した一様乱数 U1 と U2 を生成する
2. ボックス＝ミュラー法を適用して、2つの独立した標準正規値を取得する
3. 希望する平均と標準偏差になるようにスケーリングとシフトを行う

関連リソース

• 正規分布 - Wikipedia
• 68–95–99.7則 - Wikipedia
• ボックス＝ミュラー法 - Wikipedia